当代数学哲学导论（4）：平面几何、公理系统和批判
古希腊是人类数学史上的第一个黄金时期。人们在此时开创了平面几何。平面几何的重要性不言而喻，它是人类历史上第一个非平凡的数学系统（大多数人第一次觉得数学比较困难应该就是在初中的平面几何）。
我们首先澄清，平面几何是一个数学学科，它主要包含了以古希腊数学家为代表的数学家们创造的几何公理和逻辑系统，所以说一些看起来并不是平面几何的东西，也在我们所谈的平面几何的范畴之内。换言之，我们这里讨论的平面几何可能叫做欧氏几何更合适。包括高中的立体几何、圆锥曲线的一些高级定理（如Pascal定理），都是欧氏几何中的内容。与之对应的几何是射影几何、仿射几何、非欧几何、微分几何、黎曼几何和更高级的内容。
毫无疑问，《几何原本》是平面几何的集大成者。虽然在这之后也有不少结果，但是至少在哲学上它们是一脉相承的。我们下面的讨论都基于欧几里得的《几何原本》。
几何原本本质上反映了亚里士多德的形式逻辑学。这或许是最重要的哲学思想。亚里士多德认为，逻辑学是一切科学的工具。他力图将形式逻辑和现实存在联系起来，史无前例地创建了“三段论”的论证方法，对后世的科学产生了极为深远的影响。
不得不承认，亚里士多德的形式逻辑的观点在很长一段时间内占据了科学发展的主要地位，这个时间从古希腊的几何开始，一直发展到近现代，直到现代数学基础、集合论和数理逻辑的兴起，人们才对亚里士多德的形式逻辑观点进行了一定的微不足道的修正。毫不夸张地说，亚里士多德的观点在今天仍然占据着主流。正如爱因斯坦评价道：
“我们推崇的古希腊是西方科学的摇篮。在那里，世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以至它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的就是欧氏几何。推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必需的信心。如果欧几里得没能激起你少年时代的激情，那你就不是一个天生的科学思想家。”
古希腊的平面几何理论第一次以一个公理系统和完全的形式逻辑的方式给出了一个自然世界（至少是古希腊人认为的自然世界）的一个刻画。从此之后的一切科学都几乎完全地照搬这个步骤，这也是为何说它奠定了从此之后所有科学研究的基调。
我们提醒一下，欧氏几何之所以伟大，很大的原因是它只采用了很少的公理和公设，就推出了很多不可思议的结论。《利维坦》的作者霍布斯原本认为所有的科学不过是文字游戏，直到有一天他走到书摊，看见了《几何原本》中关于勾股定理的这个章节，他的第一反应便是“这个定理简直是在胡说八道”，不服气的他试图推翻欧几里得的证明，于是他不断地向前翻，最后发现勾股定理的证明全部归结为“显然”的事实。这使得霍布斯正式进入了哲学和社会学研究的领域。
欧几里得的《几何原本》采用了二十三条定义、五条公理和五条公设。利用这些假设，他就构建了整个平面几何的结构。关于欧几里得公理化体系的建立，因为原文太长所以就不放出来了，具体内容可以参考欧几里得的原文，或者是Hartshorne的《Geometry:Euclid and Beyond》（想看这本书但是又不想买的朋友可以私信我，为了避免版权问题所以不公开）。但是，因为没有经过系统研究，他的公理系统有诸多缺陷。下面就他的某些缺陷做一些批判，这些批判选自刘思齐老师的《几何与对称讲义》。
1.欧几里得的公设和公理到底有何区别？这是一个让历代注释者争论不休的问题。比如一种说法是，公设总是涉及几何内容，但公理则是某种更一般的规律。还有一些人认为，公理本身是自明的，公设没有公理那样自明。从我们之前的文章看，公理是更加代数的、逻辑的，而公设是更加几何的。还可以从运动的观点来看它们的差别。
在现代的公理系统中，我们不再需要去区分几何的还是非几何的、或者作图的还是非作图的，因此不再区分公设和公理，统一地叫做公理。不过现代数学基本都承认逻辑的公理，从这个角度讲逻辑可以认为是现代版的公理，而各种数学系统的公理都叫做公设。
2.什么是定义？亚里士多德认为定义就是“具有A特征的B”，而这个定义方式显然会导致无穷无尽的追问：什么是“D,E,F……”。虽然看起来这无关紧要，但是这关系着能否阐明公理系统。例如在欧几里得的定义中“点是没有部分的”、“线只有长度而没有宽度”、“直线是它上面的点一样地平放着的线”显然都是极不严谨的定义。
对于上面的问题，亚里士多德认为存在着“第一推动者”，也就是说当你问到这个地步时，你就不能再问了。这一观点受到中世纪教会的加大推崇，因为他们认为这认定了上帝的存在。现代数学中对“定义”的理解并没有超出亚里士多德太多。定义只能是“相对的”：在每个理论中都有一些“不能定义”或者说“无需定义”的概念，有了这些概念之后，可以用它们去定义其它概念。对于这些无定义的概念，我们不去谈论它们“是什么”（于是避免了无穷追问的问题），我们只规定它们应该具有的性质，也就是公理系统中的公理。基于这样的观念，“当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线”的定义就没有问题了。
3.什么是相等？《几何原本》中极大地滥用了这个词。它们有的是指几何图形的量的相等（即面积和长度的相等），有的指的是干脆就是几何图形的相等。根据前后文可以推测，古希腊人使用运动的观点看几何图形的相等的。这是一个在欧几里得的公设和公理中并未出现、但是在后续命题的证明中经常出现的操作。用比较现代的语言来说，如果一个线段或角度经过平移、旋转和翻转能够变成另一个线段或角度，就说这两者相等。三角形或平行四边形的相等概念则更复杂，根据上面所罗列的公理和欧几里得在后文中对其它命题所给出的证明，如果两个三角形或平行四边形经过剖分、运动和重组能够全等，那么就说它们相等。
但是，这些操作既没有说明大空间的完备性（即欧氏空间中有没有漏洞）、也没有说明大空间的齐次性（即运动是否是刚性的）。有一个更有趣的问题：如果一个图形经过剖分、运动和重组能够变成另一个图形，那么它们显然具有相同的面积或者体积；但是反之，如果两个平面图形或者立体图形具有相同的面积或者体积，那么是否一定可以通过这些操作将一个变成另一个？在二维时，答案是肯定的，这叫做Wallace–Bolyai–Gerwien定理；但是在三维，答案却是否定的，这是希尔伯特第三问题，由Max Dehn给出反例。
4.在《几何原本》的很多问题中都涉及圆和圆、圆和直线的相交。这里的问题是，为什么这两个圆有交点？我们直觉上认为有交点是因为隐含地承认了圆的连续性或者完备性，即圆周上是没有“洞”的。但欧几里得的公理并没有明确地向我们保证这一点。
5.欧几里得的公理系统并不能描述我们见到的所有平面几何事实。Rouse Ball悖论并不能从欧氏公理系统中推出矛盾，Psach定理虽然是一个显然的事实，但是无法从欧几里得的公理系统中推出。其根本原因在于公理中并没有关于介于关系的任何断言。在《几何原本》中，所有关于介于关系的结论都是通过画图和几何直观得到的，没有证明。
由上可见，从今天的眼光来看，欧氏公理系统本身具有着巨大的问题。其中一些是逻辑方法的问题，另一些是欧氏公理系统自身的问题。在当代数学中，欧式公理系统被Hilbert公理系统所取代。虽然欧氏公理系统有着巨大的隐患，但是对它的研究却催生了很多很多另外的学科。此外，欧氏公理系统的尝试也是人类历史上的伟大壮举。如今看来，它仍是人类史上最精彩的诗篇之一。
