波动方程

达朗贝尔公式，波的传播

首先先来看叠加原理：

2.达朗贝尔方程解法

首先从简单的情况入手，假定弦振动方程中边界的影响不计，即考虑如下方程：

并伴随如下定义：

初值问题（柯西问题）：方程的定解条件只有初始条件。

初边界问题（混合问题）：方程的定解条件有初始条件和边界条件。

自由振动：f恒等于0。

强迫振动：f不恒等于0。

为了解初值问题，我们利用叠加原理将方程1转换为如下两个方程，再将解叠加即可：

对于方程2，达朗贝尔的做法如下（传播波法）：

在物理方面，我们可以波动的图像有如下定义：

F（x-at）：右传播波

G（x+at）：左传播波

但是引入的变量在我们看来似乎是创造性的，难以想象，于是又有如下特征线法：

接下来类似于常微分方程中生存空间的概念，我们有如下三个定义：

依赖区间：

决定区域：

影响区域：

接下来我们看一个例题：

此题最大的特点就是x的区间不再是整个实数R，而是受到了一定的限制，而我们的做法就是先不考虑这限制，解出解来在考虑这限制带来的额外条件。

解法如下：

思路就是先设出无限制条件后两个函数的延拓，解出延拓与原函数的关系，再根据边界条件得到相容性条件即可（为了使得解具有二阶连续的偏导数）。

以上均是f=0的情况，而对于f不为0，如下图：

我们有如下操作：

我们可以发现，这种做法类似于在数学分析中积分的构建和实分析中变差函数的构建。

那么现在问题是怎么具体求表达式，只需要利用变量替换将（2.34）换成我们熟知的方程

就能利用达朗贝尔公式得到

代回可以得到：

其中G为下图：

我们亦可以验证此解的合理性：