麦克斯韦方程组3.由积分到微分

2021-10-04 10:41 作者:空山泠语 0人读过 | 我要投稿

1.小结

在前面的两篇文章中，我们已经对麦克斯韦方程组的积分形式进行了简单的介绍，相信大家也已经对这组伟大的方程有了一个初步的认识和了解了，在文章前头，我们先来“复盘”一下前面的内容吧！

麦克斯韦方程组是系统描述电磁场物理规律的一组方程，分别是静电、静磁、磁生电、电生磁方程，其中，静电、静磁方程是两个高斯定律，反映了能量在三维空间内传递的平方反比性质，而磁生电、电生磁两个方程，一个源于法拉第，由麦克斯韦整理得到数学形式，是四个方程中对人类影响最大的一个，一个则以安培环路定理为原型，麦克斯韦凭借惊人的物理直觉在后面加上了－个修正项，自此，变化的磁场能感生出电场，变化的电场亦能感生出磁场，电磁江湖从此大一统，理解它们的核心首先是通量这一物理量，在四个方程中，无一不出现它的影子，通量定量描述了通过一个曲面场线的多少，它的改变是发生电生磁、磁生电现象的根本原因

$%5Coint_%7BS%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7BQ%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%7D%20$ 电场高斯定律

$%5Coint_%7BS%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BB%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20%EF%BC%9D0$ 磁场高斯定律

$%5Coint_%7BL%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bdl%7D%20%EF%BC%9D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BB%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20$ 法拉第电磁感应定律

$%5Coint_%7BL%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BB%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bdl%7D%20%EF%BC%9D%5Cmu%200%EF%BC%88I%EF%BC%8B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20%EF%BC%89$ 安培环路定理

看到这四个（特别是后面两个）冗长的公式，相信不只是我－个叹它“携带不便”，几百年前的那些物理学家也不例外，他们也都是懒人，于是乎，他们拿着－个神器对着麦克斯韦方程组一通篡改，最终得到的可就比上面那个简略多了（但是在简化的过程中用了很多数学知识和奇葩符号，这也是很多人觉得麦克斯韦方程组晦涩难懂的原因---他们先看了微分形式），建议大家理解了积分形式后，再来看微分形式。

2.麦克斯韦方程组的形式改造

在积分形式中，我们已经习惯了从局部到整体的分割-求和思想，而在微分形式这里，我们则要换种思维方式，微分微分，顾名思义，就是把一个整体系统无限分割，再对一个个“系统元”进行必要的近似处理，对它的性质进行研究（微分的准确定义可不是这个哦），在这里，我们先拿电场高斯定律“开刀”。

首先，我们已经知道了电场高斯定律的内容：一个封闭曲面的电通量正比于该曲面内包含的电荷量，现在，我让这个曲面变得很小很小，小至接近零，这时我再去用电荷量Q就显得不太合适了，于是仿照密度的概念，物理学家们定义了一个新的物理量：电荷密度ρ，它表示曲面单位体积包含的电荷量，即 $%5Crho%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7BQ%7D%7BV%7D%20$ ，是不是和质量密度特别像呢？

然后，我们就要在式子两边同除个体积V得到它，而这个体积又是个趋于零的小量，所以我们用极限符号 $%5Clim_%7BV%5Cto0%7D%20V$ 来表示这个体积，lim是极限limit的缩写，而V→0则直观形象地表示体积V趋近于0（这个量比所有你能说出的正实数都小，你说一个我能比你小，再说一个也能…但我就是不为零，这就是这个极限），将电场高斯定律除以体积后，右边的电荷量Q直接变成电荷密度ρ，整个式子则变成这样： $%5Clim_%7BV%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5Coint_%7BS%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BdS%7D%20%20%7D%7BV%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%20%7D%20$

可能有人会说：这左边不被你弄得越来越长了吗，哪里简化了…别急，针对左边这一串东西，物理学家们给了它一个新名字：电场E的散度，因为散度的英文单词开头为div三个字母，所以我们用一个新符号：div（E）表示电场的散度： $div%EF%BC%88%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%20%7D%20$ ，但是这里有一个问题，你式子虽说简化了，但你计算麻烦了啊，首先我要对通量积分，然还要除以个无穷小体积，不把人弄疯才怪了！这不简化了个寂寞吗？

3.多元函数：从单打独斗到群魔乱舞

虽说定义是这样，谁说计算一定要用它呢，我们可以另寻与其等价的方式方便快捷地计算电场的散度

在此之前，我们先看一个看似与散度“八竿子打不着”的东西：多元函数

在中学阶段，我们基本上都是在学习单元函数，这里的“元”指自变量，单元函数指只有单个自变量的函数，像 $f%EF%BC%88x%EF%BC%89$ 、 $g%EF%BC%88x%EF%BC%89$ 这种都是单元函数，那多元函数应该就不用说了吧，它指有两个或两个以上自变量的函数，表示起来可以是 $f%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%89$ ，也可以是 $f%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%8Cz%EF%BC%89$ …甚至更多，它们的图像也是不一样的，比如说二元函数，它在空间坐标系x-Oyz上的图像就不是单元函数的曲线，而是一个曲面。举个例子，如果我在五岳之首---泰山脚下建立一个空间坐标系用以描述它的高度，那么泰山的“轮廓”就是我需要的二元函数的曲面图像，这个空间图像上某一点的高度z值需要x、y两个变量来确实，这样我就说高度z是x、y的二元函数： $z%EF%BC%9Df%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%89$

在世间万物变化的快慢：导数中，我们已经了解了描述单元函数的一个重要的量---导数，它的定义是当单元函数某个点自变量增加一个很小的 $%5CDelta%20x$ 后，因变量增量与自变量增量的比值的极限，用极限语言表述为： $f%E2%80%99%EF%BC%88x%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20$ ，某点的导函数值等于过这个点函数图像切线的斜率k的值： $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%5Cvert%20_%7Bx%EF%BC%9Dx_%7B0%7D%20%7D%20%EF%BC%9Dk_%7Bx_%7B0%7D%20%7D%20$

那单元函数的变化可以用导数描述，那多元函数的变化可以用什么描述呢？

还是回到上面泰山那个例子，如果我保持我函数x的值不动，只动它y轴，那么我任意选一个x当常数，画出来z关于y函数的图像的形状应该都是一样的，也就是说，它们的导数是一样的，也可以将他理解为自上而下沿着平行于y轴的方向把泰山“切”成两半，只要我的刀和y轴是平行的，刀口横截面的形状也应该是一样的。同样的方法也可以对x轴用一次，也有这个规律，这样我们就找到了描述多元函数变化的方法：分别令x、y为常量，再分别对z求一次导，这两个导数有一个新名字：偏导数，分别用 $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%E5%92%8C%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20$ 表示，再举个求偏导的例子，我们要求函数 $f%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%89%EF%BC%9D3x%EF%BC%8B6y$ 的偏导，我们先将6y视为常量，因为常数的导数为零，而一次函数的导数就是它的一次项系数，所以： $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%EF%BC%9D3$ ，我们再将x视为常数，来一次相似的过程，这样我们就得到了这个二元函数在y方向上的偏导数： $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%EF%BC%9D6$ ，这个 $%E2%88%82$ 符号我们就称之为偏微分符号，与单元函数中的常微分符号“d”相对应，有了偏导数这一工具，我们很容易得到相应微元的变化关系：不就是沿y轴上偏z的增量与x轴上偏z的增量之和嘛！写出来就是这个式子：

$dz%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20dx%EF%BC%8B%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20dy$ ，这个式子在高等数学中称之为全微分定理。

既然分析电磁场是要对矢量进行分析，如果我把右边的那些量视为矢量点乘的形式呢： $dz%EF%BC%9D%EF%BC%88%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%89%5Ccdot%20%5Cvec%7Bdx%7D%20%EF%BC%8B%EF%BC%88%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%89%5Ccdot%20%5Cvec%7Bdy%7D%20$ （ $%5Cvec%7Be%7D%20$ 为单位矢量，相当于 $%5Cvec%7B1%7D%20$ ），那么我的全微分定理还可以这样写： $dz%EF%BC%9D%EF%BC%88%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%8B%20%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%89%5Ccdot%20%EF%BC%88%5Cvec%7Bdx%7D%20%EF%BC%8B%5Cvec%7Bdy%7D%20%EF%BC%89$ ，那这样做的合理性何在呢？首先我们可以假设四个矢量 $%5Cvec%7Ba%7D%20%E3%80%81%5Cvec%7Bb%7D%20%E3%80%81%5Cvec%7Bc%7D%E3%80%81%20%5Cvec%7Bd%7D%20$ ，其中a矢量与c矢量指向y轴正方向，b矢量和d矢量指向x轴正方向（相当于两个矢量正交分解），根据矢量点乘的分配律，那对这两个被分解的矢量的点积，与我就可以理所当然地写为 $%EF%BC%88%5Cvec%7Ba%7D%EF%BC%8B%20%5Cvec%7Bb%7D%EF%BC%89%5Ccdot%20%EF%BC%88%20%5Cvec%7Bc%7D%20%EF%BC%8B%5Cvec%7Bd%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot%20%20%5Cvec%7Bc%7D%20%EF%BC%8B%5Cvec%7Bb%7D%5Ccdot%20%20%5Cvec%7Bd%7D%20$ （因为两个垂直的矢量点乘结果为零），这个结论大家可以试着证明一下。

这样如果我把 $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20$ 和 $%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20$ 视为矢量a和矢量b， $%5Cvec%7Bdx%7D%20$ 和 $%5Cvec%7Bdy%7D%20$ 视为矢量c和矢量d，对它们进行点乘就能得到全微分定理的表达式。既然dx、dy都确定了，那变化的dz什么时候最大呢？，因为 $%5Ccos%20x%20%5Cin%20%EF%BD%9B-1%EF%BC%8C1%EF%BD%9D$ ，所以当cosx＝1，即两个矢量同向时，dz取到最大，那左边那两个偏微商的“矢量和”也取到最大，这时我们就可以召唤出那神秘的倒三角符号“▽”了： $%E2%96%BDz%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%8B%20%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20$ ，它有一个独特的名字：梯度，它表示了一个标量函数变化（递增）最快的方向，还是用上文泰山那个例子：你在泰山上坡上找一个最陡的点，这个点的切线正方向（斜向上）就是泰山梯度的方向，这个切线的斜率则表征梯度的大小。

4.进击的“del”巨人

在上面那个梯度的式子中，大家有没有发现好像它是由“▽”与z相乘一样呢？我们把z提出来看看，就能得到一个奇怪的东西： $%E2%96%BD%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82x%7D%5Cvec%7Be%7D%20%EF%BC%8B%20%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20$ ，这个倒三角符号在就是我们今天的主角：哈密顿算子（亦称矢量微分算子、del算子等），也就是说，你把▽算子作用在一个函数上，他就会给你相应的效果，我们来看看del算子的作用方式：

（1）.▽以“相乘”的方式作用在一个标量函数上（▽z），得到的是一个梯度矢量

（2）.▽以“点乘”的方式作用在一个矢量函数上（▽•z），得到的是一个散度标量

（3）.▽以“叉乘”的方式作用在一个矢量函数上（▽×z），得到的是一个旋度矢量

我们可以，看到在哈密顿算子这里也有一个散度，那这个散度和前面电磁场的那个散度是等价的吗？

我可以告诉大家，这两个从不同途径得到的散度确实是等价的。怎么证明呢，首先可以将一个封闭曲面“切”成无数个微元体积，我们为了方便处理这些体积，把它们视为在x轴、y轴、z轴变化（也就是长宽高）分别为dx、dy、dz的立方体，立方体中 $%EF%BC%88x_%7B0%7D%20%EF%BC%8Cy_%7B0%7D%20%EF%BC%8Cz_%7B0%7D%20%EF%BC%89$ 处存在一点电荷，形成电场 $%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9Df%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%8Cz%EF%BC%89$ ，因为dx、dy、dz都很小，那这个电场在x方向上的通量可以写成： $%5CPhi%20_%7Bx%7D%20%EF%BC%9D%EF%BD%9Bf%EF%BC%88x_%7B0%7D%20%EF%BC%8Bx_%7B1%7D%20%EF%BC%8Cy%EF%BC%8Cz%EF%BC%89-f%EF%BC%88x_%7B0%7D-x_%7B2%7D%EF%BC%8Cy%EF%BC%8Cz%20%EF%BC%89%20%EF%BD%9Ddydz$

（x1＋x2＝dx），而这两个函数值之差又能表示x（立方体一侧）和x＋dx（立方体另一侧）处的函数值之差，我们用同样的方法也可以把y、z方向的总通量表示出来。最后把这三个通量加一加除以体积dxdydz时，我们容易发现最后的结果恰好是电场E在x、y、z上三个偏导数的和： $div%EF%BC%88%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82x%7D%EF%BC%8B%20%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%EF%BC%8B%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82z%7D%20$ ，我们再将上面的▽•E换成三维的形式展开，会发现结果也是一样的，而一个曲面可以视作是由很多个这种体积元构成的，这样我说它们是等价的，大家还有异议吗？

那么这个散度表达的是什么呢？从字面上来看，“散度”应该表示某点“散开”的程度，实际上也是半斤八两：它描述了场源向外界矢量流出的“剧烈程度”，如果在点电荷边取一个点，那么流入这个点的电场应该等于流出的（穿入的电场线与穿出的数目相等），所以整体流出为零，这个点的散度就应该为零。

如果我把这个点取到电荷上呢？那这个点就变成了流出不为零，流入为零，或流出为零，流入不为零的情况（正电荷和负电荷），这时这个点的散度就不为零了（为正或为负）。

电场是这样，磁场可就不一样了！自然界中目前并没有发现什么磁荷和磁单极子，所以不管你把这个点取到空间异于吸铁石上的一点，还是把这个点取到吸铁石上，流入和流出的磁感线数目应该都是相等的，所以我们便直观地得到了：磁场的散度恒为零 $%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D0$

5.旋度

到这里，我们已经完成了对两大高斯定律的微分化改造：电场的散度正比于曲面的电荷密度、磁场的散度恒为零，即 $%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%7D%20$ 和 $%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D0$ ，那后面的电生磁、磁生电的定律要怎么改呢？

和静电、静磁的思路一样，我们可以先把面积S缩到一个极其小的一个值，两边便成了这样： $%5Clim_%7BS%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5Coint_%7BL%7D%5E%7B%7D%20%5Cvec%7BE%7D%5Ccdot%5Cvec%7Bdl%7D%20%20%20%7D%7BS%7D%20%EF%BC%9D-%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BB%7D%20%7D%7B%E2%88%82t%7D%20$ ，这样我们已经把式子的右边搞定了，关键是左边接下来该怎么化简呢？这里我们就要用到▽算子的另一个作用方式：旋度。电场的旋度用哈密顿算子写作 $%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BE%7D%20$ ，那我们也就知道它的大小： $%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82y%7D%20%5Cvec%7Be%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bdx%7D%20%20%EF%BC%8B%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82x%7D%5Cvec%7Be%7D%20%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bdy%7D%20$ ，再可以将 $%5Cvec%7Bdl%7D%20$ 展开为含x、y的形式，感兴趣的朋友可以仿照上面证明散度等价的方式自行证明，在这里我直接说结果吧！它们两个也是等价的。类似的思路再放到安培环路定理上面也是适用的，最后得到的安培环路定理： $%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D%5Cmu%20_%7B0%7D%20%EF%BC%88%5Cvec%7BJ%7D%20%EF%BC%8B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82t%7D%20%EF%BC%89$ ，这个J呢是电流除以面积得到的一个量，由于面积是一个矢量，所以J也应该是个矢量，它就叫做电流密度矢量，大家只要不与质量密度和电荷密度的“除以体积”弄混就行啦！

那“旋度”curl到底表示了什么呢？它表示了矢量环流的强弱和方向（注意：旋度是有方向的！它的方向用“右手螺旋定则”判定），为了方便判断，我们可以拿一个很小的“寻龙尺”放在矢量场的各处，若它能转动，则这个点的旋度不为零，根据角速度方向运用右手螺旋定则可以判定旋度的方向，若它不能转动，则这个点的旋度为零。

6.结语

自此，我们便实现了由积分到微分的“大跃进”，使原本冗长的积分方程转化为短小精悍的微分方程：（积分形式复杂但形象，微分形式简洁但抽象）

$%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%7D%20$ 电场高斯定律 $%E2%96%BD%5Ccdot%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D0$ 磁场高斯定律

$%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BE%7D%20%EF%BC%9D-%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BB%7D%20%7D%7B%E2%88%82t%7D%20$ 法拉第电磁感应定律 $%E2%96%BD%5Ctimes%20%5Cvec%7BB%7D%20%EF%BC%9D%5Cmu%20_%7B0%7D%20%EF%BC%88%5Cvec%7BJ%7D%20%EF%BC%8B%5Cvarepsilon%20_%7B0%7D%20%5Cfrac%7B%E2%88%82%5Cvec%7BE%7D%20%7D%7B%E2%88%82t%7D%20%EF%BC%89$ 安培环路定理

是不是简洁很多了呢？其实在“十大伟大公式”评选中，麦克斯韦方程组曾一度超过勾股定理、相对论质能方程、欧拉公式等，位居榜首。这也充分说明了其里程碑意义的价值，上统一了电磁场，下表征了经典电磁学与经典力学的矛盾性，为狭义相对论等理论的诞生埋下了伏笔，可谓“承上启下”。在麦克斯韦去世的那年，另一个物理奇才---爱因斯坦降生了，从此历史的接力棒交给了新一代，那经典力学和经典电磁学的矛盾何在呢？这个故事，就得从头说起了…