【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章整式   

§3-6整式的乘法

1、同底数的幂的乘法

【01】让我们计算：a³·a²，这里我们要做的是乘法。两个相乘的代数式叫做因式，求得的结果叫做积。这里的两个因式都是以 a 做底数的幂，一个是 a 的三次幂，另一个是 a 的二次幂。因为这两个幂的底数相同，我们把这两个幂叫做同底数的幂，这个乘法叫做同底数的幂的乘法。

【02】我们先复习一下幂的意义.，a³ 的意义是 a·a·a，a² 的意义是 a·a  。因此 a³·a²＝(a·a·a)·(a·a)  。再根据乘法的结合律，(a·a·a)·(a·a) 与 a·a·a·a·a 是相等的，而 a·a·a·a·a 可以写成幂的形式a⁵，于是有 a³·a²＝(a·a·a)·(a·a) ＝a·a·a·a·a＝a⁵  。

【03】同样，b⁴·b⁵＝(b·b·b·b)(b·b·b·b·b)＝b·b·b·b·b·b·b·b·b＝b⁹  。

【04】从这两个例子，我们可以看出，两个同底数的幂的乘积还是这个底数的幂，它的指数等于两个因式的指数的和。

【05】例如：a³·a²＝a³⁺²＝a⁵；b⁴·b⁵＝b⁴⁺⁵＝b⁹  。

【06】同样地，x⁶·x⁷=x⁶⁺⁷=x¹³；y¹²º·y²º¹=y¹²º⁺²º¹=y³²¹  。

【07】一般地说，  。

【08】这样，我们就得到同底数的幂的乘法法则：同底数的两个幂相乘，底数不变，指数相加。即 （m，n是自然数）。

【注意】在本章里，遇到一个幂的指数用字母表示的时候，都假定它是表示某一个自然数。

例1.化简：

【解】

【注意】a 就是a¹，∴ a⁸·a＝a⁹，不是 a⁸  。aᵐ·a²ⁿ＝aᵐ⁺²ⁿ，不是 a²ᵐⁿ  。

习题3·6(1)

化简下面各题：

【答案】

2、单项式乘以单项式

【09】利用同底数幂的乘法法则，我们可以很方便地做单项式和单项式的乘法。例如，如果我们要计算 (3a³x²)·(－5ax³y²)，应用乘法交换律和乘法结合律，我们可以把两个单项式里的数字因数结合成一组，把同底数的幂的各个因式也结合成一组，再应用同底数幂的乘法法则，就得到

【10】一般地说，做单项式和单项式的乘法，可以应用下面的单项式乘以单项式的法则：单项式乘以单项式，只要把它们的系数的积作为积的系数，把相同字母的指数的和作为积里这个字母的指数，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数写在积里。

例2.计算：

【解】

习题3-6(2)

计算(1~16)：

【答案】

3、多项式与单项式相乘

【11】应用乘法对于加法的分配律和单项式乘以单项式的法则，我们还可以方便地做多项式与单项式相乘的乘法。例如计算 m(a＋b＋c)；根据乘法对于加法的分配律，就得 m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc  。

【12】同样地，我们要计算 (a＋b＋c)m，根据乘法对于加法的分配律，就得 (a＋b＋c)m＝am＋bm＋cm  。

【13】单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，只要把多项式的各项乘以单项式，然后把各个积相加。

例3.求多项式 3x²－2ax＋5a² 与单项式－5ax 的积。

【解】

例4.求单项式与多项式的积。

【解】

例5.化简：x(x－y－z)＋y(x＋y－z)－z(－x－y＋z)  。

【解】

习题3-6(3)

计算，并整理(1~13)：

化简下列各式(14~18)：

【答案】

4、多项式乘以多项式

【14】应用乘法对于加法的分配律和多项式与单项式相乘的法则，我们就可以做多项式乘以多项式的乘法。例如，要计算 (a＋b)(x＋y)，我们先把 a＋b 这个二项式看作一个整体，把 x＋y 看做一个二项式，各项分别与 a＋b 相乘，根据乘法对于加法的分配律，可得 (a＋b)(x＋y)＝(a＋b)x＋(a＋b)y  。

【15】再根据多项式乘以单项式的法则，得 (a＋b)x＋(a＋b)y＝ax＋bx＋ay＋by  。

【16】多项式乘以多项式的法则：多项式乘以多项式，只要把一个多项式的所有各项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，有同类项要加以合并。

例6.求多项式 a－b 与 x－y 的积。

【解】(a－b)(x－y)＝ax－ay－bx＋by  。

【说明】先拿 (a－b) 的第一项 a 分别与 (x－y) 的各项相乘，得 ax－ay，再拿 (a－b) 的第二项－b 分别与 (x－y) 的各项相乘，得－bx＋by，再把这两个积相加。我们也可以先拿 x 与 a－b 相乘，再拿－y 与 a－b 相乘，再相加，结果是一样的。

例7.求 (x－3)(x－5) 的积。

【解】(x－3)(x－5)＝x²－3x－5x＋15＝x²－8x＋15  。

例8.计算：(x²－3x－5)(x－3)  。

【解】(x²－3x－5)(x－3)＝x³－3x²－5x－3x²＋9x＋15＝x³－6x²＋4x＋15  。

习题3-6(4)

计算：

【答案】

5、多项式乘法的直式运算

【17】在多项式乘法里，如果两个因式的项数都比较多时，横式的写法在合并同类项时，容易搞错。我们也可以象算术里做乘法一样用直式的写法来进行演算，举例如下：

例9.用直式演算：(－5x＋3x²＋4)(－5＋3x)  。

【解】

【说明】我们来说明上面这个演算的步骤：

        (1)先把第一个因式按照 x 的降幂排好，成为 3x²－5x＋4 写在第一排。

        (2)再把第二个因式也按照 x 的降幂排好，成为 3x－5，写在第二排，使左边第一项对齐。

        (3)以第二个因式的第一项 3x 乘第一个因式的各项，得 9x²－15x²＋12x，写在横线的下面，作为积的第一个部分。

        (4)以第二个因式的第二项－5 乘第一个因式的各项，得－15x²＋25x－20，是积的另一部分，写在积的第二排，并且把这个多项式的各项和第一排的多项式里的同类项分别对齐（如果第二个因式还有第三项、第四项等，依次写在下面，都要使同类项上下对齐）。

        (5)把各排的部分积相加，就得最后的乘积。

例10.用直式演算：(3x³－5x²＋2x－6)(2x³＋3x²－5x－7)  。

【解】

答：积是 6x⁶－x⁵－26x⁴－2x³＋7x²＋16x＋42  。

【注】代数乘法的直式写法，与算术乘法的直式写法，有下列不同点：

        (1)算术的写法是两个因数右面个位数对齐，代数的写法是两个因式的左面第一项对齐；

        (2)算术乘法一般从右到左地进行计算，但是代数乘法一般要从左到右地进行计算。

例11.求积：(3x⁴－2x³＋x－3)(4x³－x²＋5)  。

【解】

答：积是 12x⁷－3x⁶－8x⁵＋21x⁴－13x³－7x²＋5x－15  。

【说明】第二个因式 3x⁴－2x²＋x－3，依照 x 的降幂排列时，缺 x³ 这一项，在列式时，要留出这一项的空白地位，在第一排乘积中，就留出项的地位，至于第二个因式 4x³－x²＋5 也缺少 x 这一项，却可以不空，不过在乘得的各积时，必须注意对齐同类项，否则合并同类项时就不方便，失去直式乘法的作用了。

例12.求积：(2ab－b²＋a²)·(a²－b²－2ab)  。

【解】这里有两个字母 a，b，依照 a 的降幂排列，

答：积是 a⁴－6a²b²＋b⁴  。

例13.计算：(a²＋b²＋c²－ab－bc－ac)(b＋a＋c)  。

【解】这题的第一个因式有三个字母 a,b,c，依照 a 的降幂排列时 a 的一次项有二项－ab 与－ac，没有 a 的项有三项＋b²，＋c²，－bc，我们可以在 a 的幂相同的各项内，按照 b 的降幂排列，就得

【注1】为了书写上的方便，最后写出结果时，也可以简单地写做：原式＝a³－3abc＋b³＋c³  。

【注2】所算得的积也可以将三个三次幂排在前面，按照 a,b,c 的次序排列，写做 a³＋b³＋c³－3abc  。

习题3-6(5)

求下列的乘积，用直式演算(1~5)：

求下列的乘积，用直式演算（要注意先按字母的降幂排列）(6~8)：

6(2－5＋3x3x2a)(6＋x2－5a).

用直式演算下列乘法（注意按幂排列时有缺项）(9~10)：

用直式演算(11~20)：

【答案】