《三体》中的数学——为什么很高维度的单位球体积为0？

讨论‘体积’需明确是在数学还是物理语境下。物理里d维体积在SI下有量纲m^d，量纲分析中对应结构群GL+(1,R)实表示的d-权子空间。数学中可定向黎曼流形的体积则是其体积形式dV在底流形上的积分，取值为正实数(或+∞)。微分几何中与量纲m^d相关的构造是齐d次等距不变量：对于给定的光滑流形M，定义在M的全体度规上的、在等距变换下保持不变的矢量值函数叫做M的一个等距不变量，若等距不变量F是n次正齐次函数(即任取度规g和正实数t对按比例t缩放后的度规tg都有F(tg)=F(g)t^n)，则称F为齐n次等距不变量。例如紧流形的周长是齐1/2次等距不变量，而截面曲率是齐-1次等距不变量，Ricci张量为齐0次等距不变量。黎曼几何中人们对齐0次等距不变量感兴趣(c.f. 《谱几何：正与反问题》Pierre Bérard)。常用的将d维闭流形的齐n次等距不变量除以体积的2n/d次方以得到一个齐0次等距不变量的过程可以与“无量纲化处理”相类比。

本视频中讨论的“体积”是d维单位球作为d维欧氏空间的开子流形时的体积，此时其体积等于其d维Lebesgue测度(=d维Hausdorff测度)。由Hausdorff测度的基本性质，给定任意非负实数s并记V_n为n维单位球的s维Hausdorff测度，则拓广实数列V_n显然递增，这并不违反d-1维单位球可以等距嵌入d维单位球的几何直观。而如果考虑d维单位球的d维Hausdorff测度，则并不能凭借朴素的几何直觉就得出其随d的增加而单调递增的结论。本视频中的计算给出了d维单位球的体积关于维数d的具体公式，并说明了该正实数列前五项确实严格递增，而此后实际上是严格递减到零的。