物体动能公式の推导

I.假设

存在一物体,其质量为

m

,所受恒定合力为

F

,沿合力方向做匀变速直线运动. II.引入变量

在时间间隔Δ

t

内,物体动能的变化量为Δ

E

_k,物体的位移为Δ

s

. III.建立方程

由于做功的本质是能量的传递与转化,因此可判断在时间间隔Δ

t

内,物体动能的变化量即为力

F

对物体所做的功,即Δ

E

_k=

F

·Δ

s

. IV.求解

方程两侧同除以Δ

t

,得(Δ

E

_k)/Δ

t

=

F

·(Δ

s

/Δ

t

). 当Δ

t

→0时,(d

E

_k)/d

t

=

F

·d

s

/d

t

. 由

F

=

m

a

,

v

=d

s

/d

t

,得(d

E

_k)/d

t

=

m

a

·

v

. 由

a

=d

v

/d

t

,得(d

E

_k)/d

t

=

m

·d

v

/d

t

·

v

. 两侧同乘d

t

,得d

E

_k=

m

·

v

·d

v

. 两侧同时积分,得∫d

E

_k=

m

∫

v

·d

v

=

m

v

²/2. 证毕. V.注释

1.在以上全部文本中,

斜体

表示标量,

粗斜体

表示矢量. 2.“_”表示右下角标. 3.“·”表示标量积. 4.“d”表示微分.