物体动能公式の推导
I.假设
存在一物体,其质量为
m
,所受恒定合力为
F
,沿合力方向做匀变速直线运动. II.引入变量
在时间间隔Δ
t
内,物体动能的变化量为Δ
E
_k,物体的位移为Δ
s
. III.建立方程
由于做功的本质是能量的传递与转化,因此可判断在时间间隔Δ
t
内,物体动能的变化量即为力
F
对物体所做的功,即Δ
E
_k=
F
·Δ
s
. IV.求解
方程两侧同除以Δ
t
,得(Δ
E
_k)/Δ
t
=
F
·(Δ
s
/Δ
t
). 当Δ
t
→0时,(d
E
_k)/d
t
=
F
·d
s
/d
t
. 由
F
=
m
a
,
v
=d
s
/d
t
,得(d
E
_k)/d
t
=
m
a
·
v
. 由
a
=d
v
/d
t
,得(d
E
_k)/d
t
=
m
·d
v
/d
t
·
v
. 两侧同乘d
t
,得d
E
_k=
m
·
v
·d
v
. 两侧同时积分,得∫d
E
_k=
m
∫
v
·d
v
=
m
v
²/2. 证毕. V.注释
1.在以上全部文本中,
斜体
表示标量,
粗斜体
表示矢量. 2.“_”表示右下角标. 3.“·”表示标量积. 4.“d”表示微分.