games101学习笔记01-向量与矩阵变换p3,p4
目录
一、向量
1.1点乘
表示 运算 几何意义 （向量方向远近、判断前后、投影距离）
1.2叉乘
表示 运算 几何意义 （判断内外，求法线）
二、矩阵变换
2.1二维矩阵变换
线性变换 平移变换 仿射变换
2.2齐次坐标下的二维矩阵变换
为什么用齐次坐标 齐次坐标下的二维矩阵变换 组合变换
2.3齐次坐标下的三维矩阵变换
三维旋转与欧拉角 万向节死锁
一、向量
1.1向量点乘
表示：a·b=|a|*|b|*cosθ，也等于x1x2+y1y2+z1z2;
另外，也可以用矩阵的形式表示向量点乘。
运算：点乘满足交换律结合律。
几何意义：
（1）求两个向量夹角cos，用两个方向向量的点乘可以直接得到cos。告诉我们两个向量方向接近或远离。cos越接近1两个向量越接近，越接近-1越远离。
如下的兰伯特光照模型就利用了这一点。通过物体表面法向量与光的反方向的远近，来计算某点的亮度。
（图片来自b站技术美术百人计划）
（2）投影：投影可以用来分解向量（一般点乘要分解方向上的单位向量）
（3）判断向前或向后。（跟方向点乘，大于0向前小于0向后）
1.2向量叉乘
表示：|axb|=|a||b|sinθ，方向符合右手定则
矩阵表示：
可以用矩阵表示。
右手坐标系：x x y=z；左手坐标系：x x y = -z。
下图为右手坐标系下的叉乘关系。
运算：叉乘不满足交换律，交换需加负号。
几何意义：
（1）求法线。任取平面两不平行向量求叉乘得法线
（2）判断左和右、内与外。在右手坐标系中，如果axb是正，那么b在a左侧。在右图中，如果ap、bp、cp分别在ab、bc、ca的左侧，就是在内部。
用向量点乘与叉乘，建坐标系并将向量p分解在三个轴上如下：
矩阵x向量永远是矩阵在左向量在右，而向量都是列向量。
二、矩阵变换
2.1二维矩阵变换
线性变换，包括旋转rotate、切变shear、缩放scale、翻转reflection等。在一般二维坐标中的线性变换的形式如下：
具体的变换矩阵将在介绍齐次坐标中给出。
值得一提的是，对旋转变换而言，矩阵的逆等于矩阵的转置，相当于移动-θ。也就是将下图中的θ替换成-θ。
平移变换
用向量加法实现。
仿射变换affine
即包含线性变换也包含平移变换。
然而，又要进行矩阵乘法又要进行向量相加，这种方式并不俭约。于是引入齐次坐标。
2.2齐次坐标下的二维矩阵变换
齐次坐标：比一般的坐标多出一个维度，（x,y）->(x,y,w)。w=1表示坐标，w=0表示向量。
为什么引入齐次坐标：无论线性变换还是矩阵变换都能用矩阵乘法完成，而且可以有效区分坐标和向量。
齐次坐标下的2D变换如下：
对比两种坐标的仿射变换：
逆变换：变换的逆操作，变换矩阵为原变换矩阵的逆。
对组合变换而言， 要用平移变换保证线性变换的中心在原点或者轴上，然后线性变换，然后再进行适当的平移变换。
组合变换交换顺序并不相等。
2.3齐次坐标下的三维矩阵变换
齐次坐标：
齐次坐标的仿射变换
三维变换与二维变换大同小异，只有旋转变换上稍有变化。 接下来只记录旋转的内容。
三维旋转
绕坐标轴旋转的变换矩阵如下：
旋转矩阵为正交矩阵：旋转的逆等于旋转的转置。
通过这三种变换，用以下的方式，理论上可以摆出任何的角度，如下图。这三个角称作欧拉角。
绕任意过原点轴旋转：
只要加上平移变换，就可以绕空间中任意轴旋转了。
万向节死锁：
在unity中也有欧拉角的概念，但是一般都转化成四元数进行处理。原因是使用欧拉角的万向节可能会产生死锁。
万向节旋转时，因为特殊的物理结构，最里层的轴旋转会带着外面的两层一起旋转，中层的轴旋转会带着外面的一层旋转。因此根据绕轴旋转的顺序不同而产生不同结果。
当最里和最外层不动，中间层旋转90度时，中间和最里层的平面会重合（如下图），也就是说，直接少了一个旋转方向。就是万向节死锁。
