【种花家务·物理】4-3-03球面镜成象的作图『数理化自学丛书6677版』

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第三章光学器件

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】

§3-3球面镜成象的作图

【01】球面镜成象的各种情况，还可以用作图的方法表示出来，球面镜成象的光路图，是根据光的反射定律和球面镜的性质作出来的。下面用作图法分别讨论各种球面镜成象的情况。

1、凹镜成象的作图

【02】假使在凹镜前面放一个发光点 A，我们用作图法来求它的象。先从 A 点任意引三条入射光线 AP、AQ 和 AT（如图3·14所示），P、Q 和 T 就是入射点，把它们和球心 C 联结起来，得半径 CP、CQ 和 CT，这些线显然就是 P 点、Q 点和 T 点处镜面的法线（因为半径总是和球面垂直的），它们和入射光线的夹角就是入射角，根据反射定律，反射角等于入射角，用量角器作 ∠2＝∠1，∠4＝∠3，∠6＝∠5，就得到反射光线 PA′、QA′ 和 TA′，它们相交于 A' 点，A' 点就是 A 点的实象，在 A' 处如果放一个光屏，就会有光线会聚而成的亮点显现出来。这里我们只用了三条光线作图，实际上从发光点 A 射到凹镜上的光线很多，但实验证明它们总相交于一点，所以我们没有必要把它们全都画出来。

【03】如果放在凹镜前面的不是一个光点，而是一个具有一定大小的物体，这时，我们可以把物体看成是许多点的集合，每一点可以按照上面作图的方法，得出它的象点来，这些象点组合起来，就是物体的实象。

【04】显然，根据反射定律，用量角器去求出物体上每一点的象是很麻烦的；既然球面镜成象的时候，物体上每一点所成的象只有一点，所以在作图的时候，可以从物体上选几个有代表性的点，由每一个这样的点上引两条光线，作出它们反射以后的交点，则这些有代表性的点的象，也就足以构成整个物体的象了。

【05】既然作物体成象的光路图时用不着作出物体上每一点的象，作物体上任一点的象时，也用不着把从这一点发出的所有的光线都画出来，那么，应当选择物体上哪些有代表性的点呢？作任一点的象点时，又应当选择哪些光线比较方便呢？

【06】因为物体的象是和物体相似的，所以只要选择物体的几个端点就可以了，得出这些端点的象，就可以确定整个物体的象的位置和大小。

【07】在作任一点成象的光路图时，我们常常利用球面镜反射的特点，从下列三条特殊光线中，选择其中任意两条来作图，这三条特殊光线是：

【08】(1)跟主轴平行的近轴入射光线。它射到凹镜上，反射以后经过焦点；射到凸镜上，反射以后，反射光的延长线经过凸镜的虚焦点（根据焦点的定义）。

【09】(2)通过焦点的入射光线（或它的延长线）。它反射以后，反射光跟主轴是平行的（根据反射时光路的可逆性）。

【10】(3)通过球心的入射光线（或它的延长线）。它的反射光线跟入射光线重合（根据反射定律：这时反射角和入射角都等于零）。

【11】图3·15就是根据上面所说的方法作出的光路图。蜡烛放在凹镜的球心 C 以外的地方，选择它的两个端点（A 点和 B 点）来作图：从 A 点作一条光线平行于主轴，反射以后，通过焦点 F；从 A 点作另一条光线通过凹镜的焦点 F，反射以后，跟主轴平行；这两条反射光线相交于 A' 点，这一点就是 A 点实象所在的位置。同样从 B 点作平行于主轴和通过焦点 F 的入射光线，它们经凹镜反射以后，相交于 B' 点，这一点就是 B 点实象所在的位置。有了 A' 点和 B' 点就可以知道蜡烛所成象的位置、大小和性质。如从图中可以看出，A' 点和 B' 点表明蜡烛所成的象是一个缩小的倒立的跟物体在镜面同一侧的实象。这个结果显然跟前面“凹镜成象”作图法的一般探讨中所得出的结论是一致的。

【12】图3·16和图3·17是蜡烛立在凹镜的主轴上成象的情况，这样，作图就更简单一些，只要作出蜡烛顶端 A 点的象就够了。根据凹镜成实象的规律，物体直立在凹镜的主轴上，成的象一定是倒立在主轴下面的，只要从蜡烛的顶点 A 引一条光线平行于主轴，反射后通过焦点；引另一条光线通过焦点，反射后跟主轴平行，这两条反射光线相交于 A' 点，以 A' 为端点作蜡烛垂直于主轴的倒象 A'B'，这就是所求的蜡烛 AB 的倒立实象。图3·16表示物体放在球心 C 上时，成的倒立实象也在球心上，象跟物体大小相同；图3·17表示物体放在凹镜的球心 C 以内、焦点 F 以外的地方，成的倒立实象在球心外，象比物体本身大。

【13】图3·18是蜡烛立在焦点上的情况，从蜡烛的顶端作一条光线平行于主轴，反射光通过焦点 F，作另一条沿着半径方向射到凹镜上的光线，它的反射光通过球心 C，跟入射光重合，这两条反射光恰好互相平行，永远不会相交，所以物体的实象和虚象都不存在。

【14】图3·19是蜡烛移到凹镜的焦点以内的情况，从蜡烛的顶端 A 引一条平行于主轴的光线，它反射以后通过焦点 F，从 A 点沿着半径方向引一条光线到镜面上，反射以后和入射光线重合并通过 C 点。从图中可以看出，这两条反射光线是不相交的，但是它们的延长线在镜面的另一侧相交于 A' 点，这就是 A 点的虚象，以 A' 为端点作蜡烛的直立在主轴上的象 A'B'，这就是蜡烛所成的正立的虚象。

2、凸镜成象的作图

【15】图3·20是蜡烛放在凸镜前面成象的情况，从蜡烛的顶端 A 引一条光线平行于主轴，反射以后，它的延长线通过凸镜的焦点 F，从 A 点沿着半径方向（就是向着球心 C）引另一条入射光线，反射光线跟入射光线重合，这两条反射光线的延长线在镜面后相交于 A' 点，则垂直于主轴的 A'B' 就是这时蜡烛所成的正立、缩小的虚象。

例1.有一发光点 A（如图3·21所示），已知 A' 是它由球面镜所成的象，试判断：这个球面镜是凹镜还是凸镜？A' 是实象还是虚象？镜的位置应当在 A 和 A' 之间还是在 A 和 A' 同一侧？并通过作图求出球面镜的顶点 O、球心 C 和焦点 F 的位置。

【解】

        在这个问题中，可以把发光点 A 看成是直立在主轴上的物体的端点，那么，A' 点就可以看成是这个物体的端点的象，从 A' 点作主轴的垂线也就是这个物体的象，显然，这个象是正立的，象比物体大，从象是正立的这一点可判断象是虚象，从象比物体大这一点可以判断出这个球面镜是凹镜不是凸镜。（只有凹镜才能形成放大的虚象，凸镜成的虚象总比物体小）根据凹镜成象的特点可知，它形成的虚象总是跟物体分居在镜面的两侧，所以镜面的位置应当在 A 和 A' 之间。

        在确定了象的性质、镜的种类和镜面大概的位置以后，我们用作图法来确定镜面的顶点、球心和焦点的位置。

        为了便于作图，可以先将凹镜成虚象的光路图加以分析。如图3·22所示，设凹镜的顶点在 O 点，介于 A' 和焦点 F 之间。先从 A 点沿着凹镜半径的方向引一条入射光线，它反射以后通过球心 C，即球心 C 为 A'A 的连线与主轴相交的一点。再从 A 点引另一条入射光线 AO，它和主轴的夹角 ∠1 就是入射角，过 O 点在主轴（法线）的另一侧作 ∠2＝∠1，就得到 AO 的反射光线，这两条反射光线的延长线就在镜面后相交于 A' 点，它就是 A 点的虚象。如果从 A 点作主轴的垂线，与主轴相交于 B 点，并在延长线上取 BD＝AB，由于 △AOB≌△DOB 可知 OD 就是 AO 的反射光线，这样，A'、O 和 D 点也是在同一直线上，即顶点 O 为 A'D 的连线与主轴相交的一点。分析后，就容易着手作图了.作图的过程如下：

        连接 A'A 跟主轴相交于一点，这一点就是凹镜的球心 C；自 A 点作主轴的垂线，跟主轴相交于 B 点，延长 AB 到 D 使 BD＝AB，连接 A'D，跟主轴相交于一点，这一点就是凹镜的顶点 O；取 OC 的中点 F，这一点就是凹镜的焦点 F  。（因为）。