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施笃兹定理

（分母分子必须！正向！趋于无穷or 0）[“和的极限？”一般都会想到stolz定理来简化】

算术平均and几何平均的极限等于原数列的极限

一个特殊情形：

右边的方法不行，就取对数吧，然后再用stolz定理（答案e^-1)

方法二：

取ln，除以n再乘以n，用施瓦兹，结果为0。还可以用夹逼：（大于0小于1/n,其中1/n是根据下面这条竖线的左右来划分的，要更精确也可以把竖线向右移动几格）

还可以用斯特林公式：

还可以取ln后用积分

类题：

stolz是不能逆推的，所以不能用an/bn

注意“设bn”的用法！！

法二：

注意stolz定理要求单调！所以要提出（-1)^n

猜测bn是由这个用stolz得到的

但是，这个没有保证单调递增/减，所以提取出来（-1）^n

思路也是设已知的那个极限里面的为另一个数列，然后用新数列表示旧数列，不能直接对要证式的右边用stolz定理，因为这样必须保证lim an存在，但是这题不能证明啊

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洛必达法则（没记全啊）

杂题：

做法不对：1.分母2sinx那里不对，应该是x

2.（3+2sinx)^x不可以按照幂函数求导

应该这样：

泰勒公式

tanx的泰勒展开式是sinx和cosx的泰勒展开式相除以（多项式的除法）

方法：加一项减去一项；ak法（有一点像stolz，注意是设分子为ak而不是整体设为ak）；洛必达；e^x=x-1的等价无穷小；泰勒公式

可以推广：

结论：

(拟合法)

类题：

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夹逼准则

化积数为和——》指数！

还有pk/pk=1，1以及指数让你想到了什么？e^x≥x+1

推论：（就是特殊情况）

取中项，切成一半后变成两个n—>无穷时的东西的差，然后就可以夹逼法则了，就和之前这题很像：

推广：

求极限为1，先得凑出1，然后证明剩下的式子趋近于0！！！

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微分中值定理

答案：

（这题因为有sinsin1这种，所以用不了泰勒）

（法二：把函数看成sinsincost以及coscoscost啊啊）

（注意：tansinx法很好（凑项法）！！and后面的那块不要用微分中值定理！）

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积分和积分的定义

看到1/n想到积分!!

法二：

还可以用欧拉常数（后面欧拉常数那节讲了）或者 极限趋近于s的几项和-极限趋近于s的几项和 这种

把一个n变成括号里面那一串的分母。缺了两项然后补上两项

变题：

可以利用上一题的结论，把n+1转换成n

思路：1.化为定积分法 2.取值大于小于法 3.夹逼法则

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利用定积分求极限技巧

注意：分为p的正负来讨论！！！这是一个很好的结论，可以用！

利用相减来证明极限相等

思路：1.利用这节最开头有关"n+p"的那个公式

2.p的取值！各取一个使都大于1和都小于1的p值

（打错了，最后一行的小于等于号码是大于等于号）

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导数的定义

看成某函数在x=0处的导数。中值定理不行，万一在除了x=0外的某点上导数不存在呢

同时，还要注意为什么在x=0处可导？要证明！如下：

注意：

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无穷级数

思路：猜测极限趋近于0的，可以利用证明正项级数收敛！！！（利用比值审敛法）

类题：

两种方法：下面是比值审敛法，右边是取阿尔法次根号！（就和第一个视频的第一次有点像s）

用根值审敛法和比值审敛法

一个定理：

例题：

感觉和这道题有一点点相似：

类题

只不过减数变成到无穷的了

另一个定理：

方法：证明差的极限存在：

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单调有界准则

又出现了！创造定积分！放缩！

类题：

这个极限出现好多次了，可以用单调有界准则，欧拉常数，ak-a(k-1)等

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欧拉常数

（c是可以保留的）

思路：正数a和b是等价无穷小（大），那么lna与lnb也是等价无穷大，证明如下：

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斯特林公式

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子数列

用了那个p的结论：

这题用到了1.施瓦兹定理在求出来的极限不存在时不能用 2.前面有正负交替的系数，如果整体极限存在，那么后面的极限不存在

套路：

极限存在？求出不同数列趋势，

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极限的定义

好题目。但是为了证明的严谨性，就是1x2x...x【M】这个式子要成立，那么M必须大于1，所以第二行说M>0不严谨，改成大于1

“放缩一部分”