平面几何题目分享（9）一道经过“魔改”的解析几何题

（写在前面凑字数）本题集主要由我比较喜欢的平面几何题目组成，也包括一定量改编或自编题。由于信息有限，部分题目可能无法标注出处。题目难度基本会保持在高联难度，有时也会出现一些较简单或较困难的题。（本题集无任何教育功能或目的，仅供娱乐）

原题是一次月考的解析几何大题，题目不难，联立韦达定理爆算就行，就不放上来了。下题是经过魔改的版本。

如图，椭圆长轴AB，焦点F，中心O，P，Q为椭圆上关于长轴对称的两点，PQ交AB于H。△PFH外心为M，连接OM并延长交⊙M于N，过N的⊙M切线交直线PQ于T。求证：TABQ四点共圆。

观察一下图形，不难发现图中有很多熟悉的点。如N点，其轨迹为以AB为直径的圆（用椭圆定义即可推出），较为困难的是T点，结合要证的四点共圆，由圆幂定理，能看出其实T的轨迹应当是一个椭圆（以AB为短轴，离心率于椭圆O相等）。现在的目标很明确：刻画T点。

设另一个焦点为E，类似的，做圆PHE及过D的切线，由跟心定理，易得两切线与PQ三线共点（T）因此点T可看做两条圆O切线的焦点。可是这两条切线又有什么关系呢？

这里要经过一些倒角，但难度不算大。

由垂直，得TDOFN共圆→∠DON=∠DHN

由中点C，M，O→∠DON=∠EPF

由对视角相等，∠FHN=∠FPN，∠EHD=∠EPD

→∠DPN=∠EHF=180°

即D，P，N三点共线。

擦去其他不必要的线，一个经典构型映入眼帘。没错，由圆的调和性，可得调和点列T，P，G，L

由对称性得GP=QL，简单倒边即得GH平方=HP*HT→HA*HB=HQ*HT，再由圆幂定理的逆定理即可证明此题。

以上是这道题的一个略显笨拙几何法，不知道有没有解析法或者更简洁的几何方法。有其他做法的大佬们欢迎在评论区给出你的精彩证明！