考虑一个动力学系统

一段时间内点的映射为

映射特性

假设不动点为xc，则v(xc)=0, 随时间增加轨迹渐进于不动点的为稳定流形，随时间减小到渐进于不动点为不稳定流形。

Example：钟摆

分析这个系统，具有（0,0）(π,0) (-π,0)等不动点。

(π,0)和(-π,0)都是双曲不动点，他们的稳定和不稳定流形形成了一个分隔线，图中的蓝色曲线。

在这个蓝色曲线以内出发的轨迹，最终单摆会来回摆动，轨迹形成周期振荡，如下图：

在蓝色轨迹以外出发的，不再来回振荡，而是不断旋转，相位不断增大了

(π,0)是一个双曲不动点，它的稳定流形和不稳定流形起到了分界线的作用，将相平面图以(π,0)为中心扩展一下：

在稳定流形两侧布置点，随时间它们会不断远离同理，在不稳定流形附近布置点，如果反向时间积分的话，它们也会不断远离

所以，在流体问题中，可以通过定量确定分离度来确定稳定流形和不稳定流形。

FTLE计算方法

考虑一个t0-t0+T 的流动映射

t0时刻x附近有一个点y

T0+T时刻两者分离的距离

它的幅值：L2范数

Cauchy-Green deformation tensor的最大特征向量和特征值对应了最大的拉伸方向和该方向长度，为

定义有限时间李雅普诺夫指数

那么有限时间李雅普诺夫指数最大的位置，就是在那里附近放两个粒子，一段时间会分离的最大的地方，那么该位置就可能是稳定流形存在的位置。

流体力学FTLE具体计算方法

步骤1：在t0时刻在网格点上布置粒子，获得粒子的位置坐标，并根据流场计算数据插值出各个粒子所在位置的速度。

步骤2：利用时间推进方法（欧拉法，四阶龙格库塔法等），获得下一时刻(t0+Δt)这些粒子的位置。通过计算获得(t0+Δt)时刻的流场信息，获得该时刻粒子的速度。按照该方法，每次前进Δt，直到完成时间T。那么t0时刻布撒的粒子，在(t0+T)时刻的位置可以获得

步骤3：根据以上数据和差分法，计算出每一个网格点的变形梯度：

步骤4：计算柯西格林张量，并计算其特征值，最大特征值则为FTLE。