2023年全国乙卷理科数学导数大题解析

已知。

⑴当时，求曲线在点处的切线方程；

⑵是否存在，，使得曲线关于对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；

⑶若在上存在极值，求的取值范围。

解：⑴当时，

得

对求导得

得

于是曲线在点处的切线方程为

即

⑵存在和,使得曲线关于对称

理由如下：

分析定义域有

其定义域是关于对称的，所以

令，，

则

因为

所以

所以的横轴截距

即

所以存在和，满足题意。

⑶在上存在极值在上存在零点

易得

“另起炉灶”（构造新函数），令

易得

对进行分类讨论：

因为在上单调递减，

所以

则有

当时，

因而在上存在变号零点

综上所述，的取值范围为。

评价与反思：此题的第一问很常规，适合大部分同学；第二问考察了轴对称和中心对称的知识，重在分析和思考，弱化了计算；第三问考察了变号零点，分类讨论，对解题者的能力有很大的挑战。需要说明一个较为通用的思路，研究解析式、列表和作图是研究导数的三大工具，尤其是研究解析式和作图，不过作图的过程一般在草稿纸上进行，不展示在解题过程中，在解题过程中处处体现，而列表更多地与运用在叙述上，可以使得分类讨论过程显得一目了然、清晰可见！