难题
大家好，又是新的一年，一个新的周期，有多少朋友即将毕业，又有多少准备高考，高考题难么？不要被名字吓倒，告诉你高考题还可以用初中知识解呢，不信你看。
下面是2020年高考最后大题，高考题都有故事，这是关于方程系数关系的问题：
已知函数，f(x)=x³+bx+c，曲线y=f(x)在点(0.5,f(0.5))处的切线与y轴垂直
(1)求b
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，
证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1
2020年高考全国卷Ⅲ(理数)21题
下面用初中方法解一下……
#(1)
学过二次函数应该知道出现等根时曲线会与坐标轴相切（据说当年笛卡尔非常喜欢这个方法），根据题意，与y轴垂直的切线应该是形如y=k的方程，这里在点 (0.5,f(0.5))处，可知该切线方程应该为
y=0.125+0.5b+c
将方程与曲线联立，得
0.125+0.5b+c =x³+bx+c
x³+bx-0.125-0.5b=0
设该方程的等根为t，其余根是X，根据韦达定理
t²X=0.125+0.5b -①
t²+2tX=b -②
2t+X=0 -③
由③得
X=-2t -④
代入②，有-3t²=b -⑤
④⑤代入①得
-2t³+1.5t²-0.125=0
16t³-12t²+1=0
16t³-8t²-(4t²-1)=0
8t²(2t-1)-(2t+1)(2t-1)=0
(2t-1)(8t²-2t-1)=0
(2t-1)(4t-1)(2t+1)=0
根据题意，在点(0.5,f(0.5))处相切，那么该方程存在的等根为0.5，由⑤得
b=-3t²=-0.75
#(2)
根据题(1)可得，f(x)=x³-0.75x+c
题(2)表述还算清晰，若有一个根的绝对值不大于1，那么设这个根为sinα，再求其他零点，令f(sinα)=0，即
sin³α-0.75sinα+c=0
-4sin³α+3sinα=4c
我这有个非常奇葩的结果，就是
sin3α=4c，为啥呢？难道是-4sin³α+3sinα=sin3α ？当然了！
至于怎么出来的，且听下回分解。
这样就可以确定其余的根都是绝对值不大于1的，因为都可以用正弦函数来表示，其值域就是-1到1之间的。
还有个问题出现了，必须要明确，使sin3α=4c的sinα应该有3个值才对，不过目前来看只有1个值呢？这个比较复杂了，其实初中阶段我们看到的正弦并非全貌，它还有非锐角的情况，毕竟是高考压轴题么。
一般同学都会知道圆内接三角形有个公式a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r
如果遇到钝角三角形岂不是玩不转了？其实如果将正弦拓展一下，那么所有内接三角形就都有这个公式了，太复杂的平角周角等的正弦值今天就不提了，就说说钝角情况吧，其实有sin(180°-C)=sinC，你品，你仔细品，对吧？真实情况确实如此，画个圆看看吧。
根据△ABC（其中，△ABC的边a，b，c所对的顶点为A，B，C）的外接圆，找出直径(=2r)作辅助线，发现△ABC和△ABD都满足那个公式，只是∠D变成了∠C的补角，因此规定了sin(180°-C)=sinC。
那么会发现如果方程的根x=sinα，那么根据sin3α=4c可知，x=sin(60°-α),x=-sin(60°+α)也是方程的根，其实三角函数可以转好多圈的，这样满足sin3α=4c的sinα可以找到3个值，有些乱吧，毕竟是高中知识，初中阶段只要知道sin3α=4c就可以证明完毕了。
如果还是不理解，可以根据图像形状来证明。f(x)=x³-0.75x+c只是将x³-0.75x沿着y轴平移罢了，设f₀(x)=x³-0.75x，那么
f₀(-x)=-x³+0.75x=-f₀(x)，是奇函数，只考虑正半轴就行了，负的那边根据旋转分析即可，f₀(x)=x(x-sin60°)(x+sin60°)，过原点，由于
f₀(0)=f(sin60°)=0，因此在0<x<sin60°时，只有一处改变函数增减性，且三次方程最多存在3个根，那么如果存在1个绝对值不大于1的根，有
f(1)≥0;f(-1)≤c，则-0.25≤c≤0.25，那么有
当c=-0.25时，第三个根最大，此时方程为
x³-0.75x-0.25=0
4x³-3x-1=0
4(x³-1)-(3x-3)=0
(x-1)(4x²+4x+1)=0
(x-1)(2x+1)²=0
当c=0.25时，第三个根最小，同理此时方程为
(x+1)(2x-1)²=0
因此，根据对称性，所有根的绝对值都不大于1，了解没？高考压轴题用初中知识解总会有些牵强，明白其中道理即可。不过这种题用高中知识也很难解释明确，更不用期待完美的初中方法了，高考压轴题就是这么特别。
不过用初中知识，还是可以将前面那个3倍角的公式证明出来的，更多内容欢迎品鉴下篇文章。
