1.2.1 运动方程

这里我们主要讨论的是斜抛运动。

矢量形式

水平竖直分解

初速度，抛射角（与水平方向夹角）为的斜抛运动可以沿水平和竖直方向分解，其中水平方向为匀速直线运动，速度为，竖直方向为匀变速直线运动，初速为，加速度为（以向上为正方向）.

斜抛的运动方程为：

轨迹方程

上面后两个方程可以看成关于t的参数方程，将其中参数消去，可以得到斜抛运动的轨迹方程：

方程中同时出现了，为了后续计算方便，我们利用

将上式换成如下形式：

1.2.2 斜面最大射程

一物体从倾角为的斜面底端，向上做斜抛运动，初速度一定，求在斜面上最大射程。

题中是从下往上斜抛，如果换成从上往下，将本节中所有换成即可。这里列举几种求解方法：

1.轨迹方程

联立轨迹方程与斜面方程：

得：

该方程可以整理为关于的二次方程：

该方程意味着，斜面上每一个落点，都对应2个抛射角，从下图可以看出，当2个抛射角相等时，对应位移最大，此时

舍去，取正根得

最大射程

2.沿斜面分解

如图，我们沿着斜面和垂直斜面重新建立坐标系，将斜抛运动分别沿方向分解，推得运动方程：

物体沿斜面运动最远时，，代入得

再代入的运动方程：

已知，当

时，射程最远，对应射程

由的表达式我们还发现，当两个不同的抛射角满足时，两次在斜面上的射程相等，此时

另外，将运动沿斜面分解时，还可以轻松求出物体与斜面间的最大距离

3.包络线

当参数变化时，我们观察轨迹方程图像的变化：

我们发现曲线扫过的面积有一个明显的边界，这个边界称为抛物线的包络线，斜抛运动的包络线也是一条抛物线，其表达式可以如此求得：

由图像可知，只要某点位于包络线下方，那么总能找到一个对应的抛射角，使得轨迹经过该点。反而言之，如果某点位于包络线上方，那么就找不到对应的抛射角，即关于的方程无解。我们将轨迹方程写成以为变量的形式：

这是一个二次方程，刚好找不到抛射角的临界情况对应

解得

此即包络线方程。由于包络线表示斜抛范围的边界，可以直接用来求解最大射程：联立

得水平最大位移

除以得最大射程。

4.矢量图

由运动方程的矢量形式，可以画出如下速度和位移的矢量图：

容易看出，两矢量图的上半部分相似，我们可以将右图缩小t倍，平移到左图中：

由于，只要最大，射程即取最大。

在中

其中均为定值，当最大时，

此时为角平分线，即只要沿着斜面与竖直方向的角平分线抛射物体，物体射程一定最远。此时

对应最远射程