两道看似表面完全无关，本质却惊人相似的题

       由于新教材的改革，2023年的上海高考数学在压轴题知识点的分配方面相较以往有了较大的变化，春秋考的填空压轴均考察了立体几何，而春考的选择压轴考察了数列，解答压轴考了函数与导数的综合分析；秋考的选择压轴考察了解析几何，解答压轴出乎意外地考了导数+数列压轴（参与出卷的教研员在考前曾明确表示数列不会出大题），这使得2024年的上海高考数学压轴涉及的知识点依旧风云莫测。本文将以两道方程族问题为例，展示一种可能的压轴出题方向。选择这类问题的原因主要是这类问题一是融合了函数、导数和数列的知识点，二是包含了一些上海卷中常常带有的边分析、边思考、边解答，先猜测、后论证的思维历程，三是其与高等数学的第一课---极限的思想密切挂钩，这符合高考的命题原则。

例题1：

答案：

例题2：

两道题虽然形式上看似毫无关联，但研究例题1的21（3）和例题2法一解答的本质后不难发现两题的思维、解题流程几乎完全一致，核心均在于考察方程族问题：

1. 均套了一层华丽的壳，例题1给出了“跳跃函数”的定义结合集合语言包装本质问题，

而例题2用多个任意、存在的封装命题量词使得问题表述看似复杂；

2. 两题均考察了数列的基本功，例题1需要使用已知递推求通项的数列化简技巧得到函数

的解析式，而例题2需要结合无穷等比数列和的计算公式来化简；

3. 在化简后两题均需进行奇偶分类，其中一种情况成立，而另一种情况不成立（例题1的21（3）的前4分证明部分考察的便是奇偶分析，而例题2的命题1考察的也是奇偶分析），且论述过程中均使用了零点存在性定理；

4. 在得到符合条件的一类后（例题1的21（3）中为偶数，而例题2中为奇数），两题均可先猜测出结论（例题2的法二还提供了一种数形结合的思路），且本质上均在探究双变量方程解的问题，通过冻结其中一个变量将原问题转化为探究一系列函数族零点趋势的问题，通过分析函数的单调性（既可以结合基本函数特征分析，也可用导数进行判断）结合数学语言最后通过构造（均使用取对法）证明对于每个冻结变量均有主变量可使方程成立，实际上在高等数学语言中，这便是方程族的解趋近于一个确定极限的证明过程.