小学数学名师观摩研讨课：蔡宏圣（江苏特级教师）认识方程

同学们，上课。
老师您好。
同学们好。
学了几年数学了。
五年。
五年至少要四年学习了数学对吧？我给大家有一个建议。因为我交了30年的数学了，我就觉得学数学实际上就学三件事情。有谁知道会是哪三件事情？随便说。
认真。细心。学习。
可以有自己的想法，我觉得学数学就只有三件事情。学会数学地来看周围的世界。学会数学的去思考问题，就是你们所说的想。想之后一定要有话要说，有想法要把它表达出来。学会数学的方式，把它表达出来。学数学实际上就是学这三件事情【看思写】也许你一直不察觉自己有这方面的能力，今天我们就来试一试，我们一起来看屏幕。看到了什么？
我看到一个称上面有有一个大的瓶子，有150克，还有两个小瓶子，分别是100克和50克。
谢谢，不错。
那个不是瓶子，而是砝码。
大家发现这个称其实有一个什么？叫天平，天平上用来称东西的那个叫什么？叫砝码，对了？刚才我们说从数学的角度来看，看到了什么？
我发现一个150克的砝码等于一个100克的砝码和50克的砝码。一个100克的砝码和一个50克的砝码，正好等于一个150克的砝码的重量。
是吗？对不对？这个是用眼睛来看到的吗？你自己说吧。因为100+50=150，正好等于150克。
从这个图上您看到了等于吗？
没有。
看到什么？
他们三个法码，一个法码是150个跟一个一百一百克加50克的法码的重量都是平等的。
看到的是平等的，脑子就想成了什么？
相等。
非常好，我们很多时候真的看和想几乎都结合在一起的，但稍稍一分析，实际上还真的是两码事情，已经看到了是平衡的，或者说我看到了什么？中间那个指针指着正中间，我脑子里想他，们那就是相等的。现在你看，我们无意中已经做了第一件事情，也做完了第二件事情，现在我们做第三件事情，刚才说了，就要用数学的方式把你想到的东西表达出来，笔拿出来，草稿上写一写。写什么？写你看到了什么，想到了什么？我们比的是谁写的更数学。
写完的同学不用浪费时间，坐端正，我就觉得没价值，数学课上坐端正真的没多少价值，写完了拿着你的想法去找人交流，反正我发现了，有的同学写的有点快，有的同学写的有点慢。我们不用等每位同学都写完。来一起作证，来一起作证，不要不舍得放下笔，因为自己思考之后的交流，实际上更为重要的。我找了一位能刚刚放下笔写完的孩子。【将学生作业拿去投影】
这位同学写的有点慢，为什么？
因为他要思考。
写的慢，找到原因了吗？他想一定是想明白了，写得慢。写的特别快的还有有没有？我找一位写的特别快的有吗？一比就找到原因啦。看到了吗？为什么上面的同学写的比较慢？找到了吗？说吧。
因为上面的同学写的比较多。
多在哪里呢？还没有说到本质。
我觉得因为上面的同学是用文字来表示，而下面的同学是用算式来表示。
说清楚了吗？为什么慢？因为写的太多的文字。为什么快？
……
看明白了吗孩子们？回过来想，这叫做谁写得更加的数学？现在明白了吗？用数学的方式表达就是写算式或者说要写数。
这个叫什么
叫点
大声。对了？尽量的要用符号，尽量不用什么
文字
对了，这就是数学和其他的不同。说就是说150=100+50这件事情，对不对？对不对？好，回过来看，您看啊，实际上我们屏幕上现在所看到的说的就是一件事情，或者我用图片的方式，或者我用文字的方式，当然，我们刚才同学们多数都是用文字的方式的，也有少数同学直接用了非常数学的方式，比比看用数学的方式好在哪里？
方便
还有？
用数学的好处是第一写得快，第二他的表达十分的清楚。
我赞同写的特别的干净。所以呢，你学了四年数学一直觉得数学就是用来做题目的，实际上并不如此，数学还可以用来表达你的想法，比如说刚才这个情景，我们就可以用数学的方式把它写成150，等于100+50。回过来再来看，我眼睛是看不出这个的，对吗？我是通过思考找到的，换句话说，我们思考实际就是……
关系
思考实际从数学角度来看世界，实际上就是把不是数学的东西都去掉，只留下什么。
数
对呀，只留下数呗！当然，不过今天这节课我们更多的来关注其中的数，或者叫数量好了，你看看一幅图，原来我们就是做这一件事情。有一句话你一定知道，叫做重要的事情，
……
对，做三遍，还有两张啊，两张图，下面来看看的明白吗？（老师读题）把这个信息摆看懂了吗？会用数学的方式把你看到的想到了什么表达吗？刚才说用数学的方式就是意味着什么？
……
少用文字，多用数和符号。下面再来写一写。写完了，我刚才说不用做端正，坐端正就是浪费时间找你的同学去交流。写完了吗？我们又可以交流了是吧？好嘞，那个暂时那个设备不是不好用，我就不用放过来了啊，我看到有孩子是这么写的，第二个图有孩子这么写的，你举个手。哦，你反过来吧，或者把它写成800等于橙子加700。文字的有吗？举手这孩子，现在你可以举什么吧？你是这样吗？这个举手了，文字的。画图的有吗？你就把橙子……
我画了一个圈。中间加上几个点。
表示什么？
橙子。
也就是我刚才说的也有画图的。直接画个图表示。还有其他的吗？有您呢？
我是用问号来表橙子的。
就是问号加700等于八百。
还有不同的吗？您说。
橙子改成x等于未知数
x+700=800
我们就把第二个先搞清楚就明白了，来，一起瞧这几种写法。我就问啊，有写汉字的，有画图的那些孩子，你写的那个汉字字表示什么意思？
表示未知数
那我写的x表示什么意思？
也表示未知数
哦，那我就明白了，表示未知数的方式可以有好多诶，对不对？原来如此，这就是第二个图，那您觉得这当中最数学的是哪个？
我觉得是最后一个
最后一个是吧？那意味着我们要用数学的方式来表达，今天的就是要用数，用符号还要用什么
字母
是啊，话筒不用你一直霸占的，那样子没有价值？因为应该每位孩子就有这个宽阔的胸襟，让话筒在我班里面飞起来。哎，这个孩子话筒你不用保管了。我就觉得这个话题已经害了你了。
还要多用字母，那既然如此，老师就把其他的方法也给擦了，不过其他写法也特别有价值。所以我们把掌声送给自己。那既然如此，第三个图怎么表达？
X+700＞800
怎么是大于呢？想到了什么？
因为x+700那边重。
所以应该用什么符号？
用大于号
用大于。好了，同学们来看，现在我们得到三条算式。因为我们这节课的课题叫做认识方程，聪明的同学一上课，脑海当中一定就有个问题方程呢，现在我谜底揭开，我就告诉你，写的第三道才是方程。根据老师给公布的这个结果，给推理书方程的特点。
必须要有一个字母的字母，表示未知数，。
你说哪里看出？
因为图中那个不知道橙子的重量？
你没有回答我的问题。找到了方程一定要有未知数，而老师的问题是，你从哪里看出来？方程组一定要有未知数。思考比最终这个结果我认为更加重要，怎么思考的？
我是从方程中那个x，可以看出方程一定要有未知数。
我是没看出来。
……
你就没说清楚方程中为什么有未知数？没听清楚我的问题，没有有条理的来思考。
应该是，如果有没有未知数的话？那你可以用普通的方法来计算，为什么还要用方程呢？
说不清楚，我来出手，孩子们，您瞧噢。三道算式把谁和谁放在一起比？
第道和第三道
把1和3放在一起比，什么发现？1和3放在一起比什么发现？
我发现第一道是没有未知数，而第三道却有未知数。
没有未知数，什么？
对了它更重要，没有未知数，它不是方程。哎，可见有了方程，他就是未知数。清楚了，有条理了，学数学就学习有条理的思考问题，那除了这以外。方程还有另外的条件吗？
方程必须要有等号，因为像第二道算是但是他用的是大于号，所以就它就不是方程，而第三道会有一个等号，所以它是方程。
谢谢，提醒各位同学。这位孩子提醒我们把2和3放在一起比较，发现了方程得有等号。为什么不是方程？用语文中的虽然怎么怎么了？但是他怎么所以他怎么？
虽然第一道有等号，但是没有未知数，所以它不是方程。
同意吗？
同意。
说的真棒，我把掌声送给他。你可以保留意见，不要跟着我啊，不要跟着我那第二道呢？
第二道算式，虽然他有未知数，但是没有等号，所以它不是方程。
这两个意思，谁又给总结一下？看到方程我怎么判断他？
知道了，方程不仅要有未知数还要有等号。
说的真好，他用上了不仅而且。用上了不仅而且说明了有，必须，并列。或者说缺一不可。我的同学们，您看，方程有这么一回事情，再来回想一下，方程怎么来的？我们上课到这一会儿，怎么来的？天上掉下来的吗？方程怎么来的？
应该是数学家研究出来的。
你可真会糊弄人。
我们怎么坐着坐着，方程就来了？我们做出来的，什么数学家想出来的。
我觉得的话是我们思考出来的。
还有？
经过看思写出来的。
用数学的眼睛看看你周围的世界。而找一找它们之间有没有？
关联
也就是说什么关系
说的更准确一点
等量关系，噢，找一找它们之间有没有相等关系？或者说你们所说的那个等量关系，对不对？然后用非常数学的方式写出来，就可能会得到方程，对吧？有时候我就希望呀，刚才怎么过来的？好好的去总结一下，你会收获更多，来现在我又有问题了，你看我现在再写一个是不是方程？比如说，括号加3=5我们一年级经常做这样的题，是方程吗？
不是方程，因为他没有字母。
是方程，因为它既含有未知数，还有等号，所以我认为它是方程。
我听到了他们说一个说没有字母，一个说有未知数。你说这个字母，它到底表示什么？
这个字母表示未知数。
噢，所以括号加3=5，是不是方程？
是
因为什么？
因为它既有未知数，也有等号。
现在的未知数用什么表示？
括号。
刚才我还记得有的同学说看到括号，我是这么表示的。橙子加700等于800（板书）这个是方程吗？
是
他不是因为他没有用字母来表示
它是方程，因为一个橙子是一个未知数
橙子用来表示什么？通过刚才那个争论，你收获在哪里？
因为方程它的未知数，不一定都是字母
对了
可以用任何东西来表示这个未知数
可以用多种方式来表示未知，我一年级的时候写个括号或者像刚才有同学所说的我打一个问号，可以吗？当然，老师也得承认这一点，最数学的方式写成什么？
字母
但你不能说，那个就不对是不是？这点要搞明白，这一点要搞明白，现在你能不能给同桌举一个方程交流一下？
【交流】
口头就可以啦
您给大家说一个
……
还是家呀？能不能有突破？
……
出现了乘是方程吗？
噢还有突破的方程吗？
X-100=90
诶，出现了减。好。还有吗？
……
同意吗？都是一步计算，能不能出现两步计算？有吗？
X+400减x=300
这是方程吗？
我把它写下来他说的是什么？
X加400-x等于300，是方程吗？
他有等号，有未知数
当然，你仔细看这个方程是很古怪的，你发现古怪在哪里？
就是发现有两个未知数，而且那个是摆在中间，
样子上面发现400在中间，当然你没有发现，我也就不提醒了，这个方程挺古怪的，
答案应该是400
同样眼睛看到的东西，有没有想很重要？有的同学看到了，马上去思考了，就找到问题了，真的是这样，这里有个x，这里也有个x，减去了之后就变成了400等于300，有问题吗？所以有的同学说这里应该改成多少？
400
孩子们，你们看这就是什么？就是每个人的感觉不同，我就希望你一定要养成这样一个习惯，看思考表达很好的结合在一起，我们把掌声送给刚才提醒我们的那位同学。
方程说的完吗？我现在还有一个方程，我请大家来思考一下，这个方程实际上在我们刚才写方程的过程中出现了，老师只不过把它放一放。 怎么样？你看第二张图。因为我们学了四年多数学，给你一个总的印象就是数学一定要做题目，看到一个题，马上就去想这个是多少？所以看第二张图，第二张图按照你以前做数学的习惯，你马上就想到那个橙子应该是多少？
800-700＝100单位克
这是方程吗？是不是？
不是
为什么？
没有未知数
对啊，那不行啊！那我把这个地方就改成x，现在您看，800-700=x是方程吗？因为什么？
是，因为现在已经有了未知数和等号，所以它是方程
我们来听听他的意见。
未知数，不能自个
他的意思就是说未知数不能和等号放在一边
我没听明白
我的意思是那个x可简写成100，就不用写x了
我觉得未知数，要参与在计算当中
越来越玄乎了
我觉得未知数，不能成为答案
未知数，不能做答案
他说的意思还真是这样，这个地方我们原来一直写的就是答案，原来这个地方写的是100，我们为什么要把它改成x？因为他没有未知数，没有未知数就不是方程？所以我把100改成了x，那么未知数就在答案的地方，对不对？
换句话说，按照方程的两个条件来说，他是不是方程？
是
毫无疑问，但是那么多的同学一再提醒我们。这个方程真的没有什么价值，为什么没有什么价值？因为……
因为已经成为答案了，
答案已经出来了，你再把它改成方程，没价值了，对不对。没有意义了。所以我们列方程一定要把x放在前面或者说得更数学一点的话，一定要在算式的里边，算式里边干什么？
要参加列式和计算，这会儿我们把掌声再送给那位女生。他刚才所说的……
未知数要参与在计算当中
我那会儿请大家来思考这个问题，大家不一定明白，所以我让她稍微等了一等，有点玄乎吧！那个说法，诶现在可明白了，X，不能等在答案的地方不干活。未知数，一定要和已知数参加列式和计算。这个方程才有价值。我就觉得这点真的很重要。好剩余时间，我们的课正好到点，下课吗？还要想看思写是不是？我们来做一道题好吗？
好
这道题就特别有讲究了。老师带来三幅图，现在把1和3放下。重点来看二。看二这个情景，您能看出方程吗？
能
真哒？这个方程怎么写呢？
5x加300=800
看明白吗
明白
有问题问他吗？
5x表示什么？
五个未知数。
你这个未知数是什么呀？
五个小杯
算明白了，不过我有我有一个很重要的问题，我们刚才的方程都是在天平上看出来的。但没有天平诶，没有天平怎么有方程？
因为他有等量关系所以它是方程
在天平中，平的话，我就可以看出他是有等量关系。现在您从哪里看出他有等量关系？
因为他在下面画了个大括号，写了800毫升。
从文字里哪里看出来？还也有等量关系？
从文字中的正好可以看出他有等量关系。
最初级的方程，谁会写？
X+x+x+x+x+300=800毫升
明白意思吗？把五个x写成5x这就在计算了，不知道是多少，我也能算。我们本事比以前长多了，厉害呀。您还应该还能体会到一句话，学方程就是学什么？学方程就是学习如何少动脑筋。
您刚才写的时候动脑筋了吗？几乎没动，是不是？我看着未知数写着写着什么就出来了
方程就出来了
所以学习方程就是学习如何少动脑筋的学习，我想把这句话送给你们，最后我们再来辨析一下，老师写这个方程，您看有问题吗？
我把它写成x+300，等于800，
不能
我这个对吗？怎么不对了？谁告诉我？我问题出在哪里呢？
她只有一个未知数
屏幕上有五个未知数，但算式上它只表达出了一个未知数。
题目上应该是五个小杯加300毫升一大杯，一共等于800，老师，这么写是几小杯？一小杯加300=800，所以我写错了对吧？现在就请你们拯救我，对救救我，我有条件的。在这上面不作任何的变化怎么让他对？
在800后面写4x就可以了
谢谢你，你这有变化了，你这个写的是不错，真好，X+300=800，能让我变对吗？
可以在x前面写一个五，
哦，x前面加一个五又不是变了吗？我说我就是x+300=800能让我对吗？
可以再求出x之后再用那个数除以五
你明白了，但你没说明白
说可以先求出那个x，那个x其实就是五个小杯，然后再除以五算出一个小杯
明白吗？怎么说我这个方程是对的？
我觉得应该是x代表的是五个小杯，然后而算得了X……
不要说后面的事情把前面的事情说清楚就行
我觉得老师写的那个算式的x代表的是五个小杯。
表示什么？
五个小杯
我写对了吗？这个上面这个方程怎么写？
X表示一个小杯
X表示一小杯，有没有注意看情景解方程？可以写好多，对吗？为了方便在方程前面要写那么一句话，说清楚，我这个x是什么意思？那么人家都能够理解了。一句话说清楚，我这个x是什么意思？这么一来的话，人家都能够理解了，对不对？好，天下没有不散的课，我们真的要下课了，虽然11:50马上要吃中饭了，我们下课好吧？
回去吧，我们下课吧。
行吗？好也有，也有不好的。没关系，我就觉得那个同学也这么来想啊，你不要以为做到这样才能够学习，回去我们还能继续学习。

交流：我就可能要拖一天课了啊，争取十分钟做一个简短的交流啊，那个本来呢嗯，教授是叮嘱，最好能上两节课，然后我就觉得我也知道老师们特别喜欢听课，不过我个人的人适应更好的方式，应该是可再加一个小的报告，我觉得这种方式好在哪里？这段话是好在把那个上面上的这个课当中的很多想法，通过这个报告，有这样一个更彻底的交流，我就觉得这样的方式才更有利于老师的提高，那么在我的坚持下，那么我们今天上午就用了这个方式，然后和老师交流意思，交流这个话题就是数学史，因为在交流当中，我也特别有针对性了选了两章，一篇文章讲的就是代数的问题，算数到代数，那是一种怎样的过程。另外一件事情，就说了数学史，我备这节课就是从数学史的角度来备的，我一直信奉专业成长，这句话叫做走自己的路，让老师的发现这也是一条路，应该来说没有数学史，可能不会怎么样？但有了数学史是一定不一样，特别是一个老师，如果您想要往专业更高端发展的话，我个人体会你应该要读一点数学，那么我备这节课是因为什么？因为我在教学当中有过困惑。我曾经遇到过，就是我们屏幕上出现的，每年总有几个一年级学生，总有那几个孩子解答类似这些义序问题的时候，应该要列8-3等于五这条算式的，但总有孩子直接列了加法算式，这到底对还是错？如果你还放在这个算数的事业当中，是得不出答案的，我们应该，跳出算术的视野，从代数的视野来看，当然我们现在可以明白，我今天有意义的把那个情景摆出来了，那就是什么？那就是括号加3等于5。那实际上已经是方程了，然后我就觉得这些问题实际上上完之后，关于方程，孩子们还有很多问题，屏幕上，那么这些问题和这个概念的定义没有关系，什么叫方程就是那一句话，含有未知数的等式，但是很多的问题那个概念的定义是解释不了的，因此我想我们可以得出这一个结论。一个概念的定义往往是不能包括了一个概念的全部意义的。我很多时候都是从数学史的角度来考虑问题，非常有意思的是什么关于方程？我们人类的四大古文明多出现过，而且我们可以推测那个时候没有这样的信息交流的路径，可以认为四大古文明都独立的出现了，非常有意思，非常有意思，非常有意思，再加上小学生，每年的小学生都有孩子自发的会用加法算式来解，应该逆序的题，所以我产生一个判断，那就是我们人类那个把未知数和已知数平等的参加列式，应该算我们人类的一种本能啊，算我们人类的一种本能，而且你去翻读数学史，人类用方程去解决问题的历史至少4000年以上，但是我们国家引进西方数学那个方程的形式化定义，最多可能200多年，最多可能200多年，可能放在欧洲时间可能要长一点，那么您可以体会到我们人类很显然创造方程，绝对不是为了什么，绝对的为了定义来的，而是为了简便解决问题来的，所以我就觉得我们透过了历史，然后你会更清楚地发现原来方程的本质是什么？方程的本质是在于描绘了一种相等关系，而且应该是不需要任何运算和加工的相等关系，每一个情景可以列好多个方程，但一定有一个有一个方程式最原始的，比如说这个情景当中这个方程x+x+x+x+x+300=800。越是原始方程越可以不动脑筋，今天那个情景中，孩子所说的x+3百等于8百-4x，他也是一个方程，但是你要列方程要动很多的脑筋，我就觉得完全是不同的，完全是不同的，所以我让孩子们体会什么学方程，学习什么？就是学习如何少动脑筋，真的不断的少动脑筋的去解决问题，数学才会创造更高明的办法好，然后，我就觉得读数学史你会明白我们以往一直认为一个概念对应的就是一个定义，但你读了数学时，你就可以发现，一个概念，可以有好多个定义，一个概念可以有好多个定义，比如说，我们可以这么来给方程下定义，叫做未知数参加列式运算的等式叫方程，比如说为了解决问题，在已知和未知建立等量关系也叫方程，但我们现在用的这个定义是，含有未知数的等式叫方程，这个定义很显然他没有真正的触及方程的本质，他只说了外在的形式，这相当于穿花衬衫的就是一个女同志，差不多对不对？是吧，所以从这个角度就会明白了，原来教学当中出现很多纷争，是因为什么？因为定义出了问题。从外在的形式化定义来说，外在的形式化定义来说，800-700=x，那绝对是个方程，没有什么问题，但是如果我们从方程的本质出发，未知数，参加列式计算，或者说为了解决问题，800-700=x，这个方程没有符合这些要求，所以800-700=x，又不是方程，而且老师也会明白的，在教学中，不要引导孩子列出800-700，等于x这些方程，因为这些方程真的没什么意思啊，没什么价值。好了，把这些问题梳理清楚，我就觉得非常有价值，因为是历史给了你这样一种视野。然后我就觉得这节课呃，同样这段历史还给我们的启示是什么？我们的概念教学要基于定义，又要超越定义，给学生更多的生长点，这才是你老师应该做的，也就是说，概念的意义往往会大于这个概念的定义。比如说我今天这节课很多东西已经都渗透了，我今天追问没有天平了，怎么会有方程的。一个孩子非常一针见血的指出，因为有了什么相等关系，您看这不就是以后列方程解决实际问题的本质吗？又比如说列方程之前为什么一定要写那一句话，我通过今天通过一个情景让孩子明白了如果不写一句话，这样一个道理我明白了一句话，那真容易带来误会，对吧？再比如说方程方程方程方程是怎么来的？我我觉得我们今天那个彭教授，我们这个活动指向核心很素养，但至少现在素养还是很重要的，如何落实到我们老师的一线课堂当中来？我今天也跳出了方程这个概念的这个本身，而立足于更为一般意义上学数学就是学什么？就是学这三件事情，从数学的角度来看周围的世界，从数学的角度去思考分析，从数学的角度去表达和交流。学数学无非就是学这三件事情。我想，这样就可以把核心素养落实到一线课程当中去。换言之，我们说，以后还得教这些知识，你不可能说把这些知识全盘推翻。你还得教这些知识，那如何改造我们的教学？更好地指向数学的素养？这，应该来说是我们思考的，然后也限于时间，没办法做更多的交流，然后我今天上了这一节课，包括所做的这些片言假语都收集在我们这个应该来说近十年这样一个思考研究的这样一个成果中，我们通过中国教育科学院下面的教育科学出版社出了一套丛书，使数学史走进小学数学课堂，我们已经正式出版的第一本，第一本是案例与剖析，我今天带来了十本，而且也签上了名。欢迎老师们待会儿来选购。其他老师可通过当当网，可能当当网前段时间刚刚那个断货了，但他们已经在补货。我希望老师们可以记住这句话，真的就是这样，没有数学史是不会怎么样？但有了数学史一定不一样，只能简短的做这些交流，谢谢各位老师。