浅谈高等数学（2）

2022-01-19 15:38 作者:-YD-LM- 0人读过 | 我要投稿

第二期极限的理解（二）

（自变量趋于无穷大时函数的极限数列的极限极限存在准则）

在上期中，我们讨论了自变量趋于常数时函数极限的理解。我们使用了一种新的描述方式： $%5Cvarepsilon-%5Cdelta$ 语言。它帮助我们来刻画了“趋近”的过程。而自变量趋于无穷大时函数的极限，在中学阶段并没有提及，但这不妨碍我们的理解。简单来说，就是一个函数 $f(x)$ 当 $x$ 的绝对值不断增大时，函数会无限趋近于一个常数 $A$ ，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x%5Crightarrow%5Cinfty$ 时的极限，记作

$%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%5Cinfty%7Df(x)%3DA$ .

例如 $%5Clim_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac1x%3D0%2C%20%5Clim_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cvert%20%5Carctan%20x%5Cvert%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D2%2C......$

是不是感觉和之前很类似？我们仍然可以采用前述的思考方式。在给定正数 $%5Cvarepsilon$ 的情况下，将 $%5Cvert%20f(x)-A%5Cvert%3C%5Cvarepsilon$ 作为一个目标，这个目标可以通过自变量的绝对值增加到一定程度来达到，这个“程度”就是 $%7Cx%7C%3EX$ $(X%3E0)$ .其中 $X$ 能用以表示能无限增加的一个变量，方才的 $%5Cvarepsilon-%5Cdelta$ 语言也就变成了 $%5Cvarepsilon-X$ 语言。至于 $x$ 的定义域，那只要能保证函数曲线向两边都能延伸到无穷远，也就是 $%7Cx%7C$ 大于某一正数时有定义即可。有了上次的铺垫，相信现在这已经不难理解了。我们不多赘述，直接给出定义：

定义设函数 $f(x)$ 当 $%7Cx%7C$ 大于某一正数时有定义。若

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%3E0%2C%5Cexists%20X%3E0%2C$ 使得当 $%7Cx%7C%3EX$ 时，都有 $%7Cf(x)-A%7C%3C%5Cvarepsilon.$

则常数 $A$ 叫做函数 $f(x)$ 当 $x%5Crightarrow%5Cinfty$ 时的极限，记作

$%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%5Cinfty%7Df(x)%3DA$ .

把定义中 $%7Cx%7C%3EX$ 分别改为 $x%3EX$ 和 $x%3C-X$ ，则常数 $A$ 分别叫做函数 $f(x)$ 当 $x%5Crightarrow%2B%5Cinfty$ 时和 $x%5Crightarrow-%5Cinfty$ 时的极限，分别记作

$%5Clim_%7Bx%5Cto%20%2B%5Cinfty%7Df(x)%3DA(%5Clim_%7Bx%5Cto%20-%5Cinfty%7Df(x)%3DA).$

同样地，由于无穷大分正负两种，因此函数 $f(x)$ 当 $x%5Crightarrow%5Cinfty$ 时有极限，等价于函数 $f(x)$ 当 $x%5Crightarrow%2B%5Cinfty$ 时和 $x%5Crightarrow-%5Cinfty$ 时的极限均存在且相等。

到这里，数列的极限就十分明晰了。数列的极限无非就是一个定义域为全体正整数的函数当 $x%5Crightarrow%2B%5Cinfty$ 时的极限，甚至不需要再另外定义了。这正是我先不介绍数列极限的原因。

下面是截至目前所有文案的图片（用GeoGebra绘制）：

红线： $y%3Df(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ；紫色实线： $y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ；紫色虚线： $y%3D0.4%2Cy%3D0.6$ ；蓝色实线： $x%3D2$ ；蓝色虚线： $x%3D1.8%2Cx%3D2.2$ ；灰色虚线： $x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0.6%7D%2Cx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0.4%7D$ 。

取 $f(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ， $x_0%3D2$ ， $A%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ， $%5Cvarepsilon%3D0.1$ ， $%5Cdelta%3D0.2$ 。（略去严格证明） $%5Clim_%7Bx%5Cto%202%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.$

深紫色线： $y%3Df(x)%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ，淡紫色实线： $y%3D1$ ，淡紫色虚线： $y%3D1.2$ ，绿色虚线： $x%3D5$ 。取 $f(x)%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ， $%5Cvarepsilon%3D0.2%2CX%3D5$ 。（略去严格证明） $%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%5Cinfty%7D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D1$ 。

下面介绍一个重要的极限存在准则：

准则Ⅰ（夹逼准则）若

（1）当 $x%5Cin%5Cmathring%7BU%7D(x_0%2Cr)$ （或 $%7Cx%7C%3EM$ ）时，

$g(x)%5Cleq%20f(x)%5Cleq%20h(x)%3B$

（2） $%5Clim_%7B%5C%20x%5Cto%20x_0%5C%5C(x%5Cto%20%5Cinfty)%7Dg(x)%3D%5Clim_%7B%5C%20x%5Cto%20x_0%5C%5C(x%5Cto%20%5Cinfty)%7Dh(x)%3DA%2C$

那么 $%5Clim_%7B%5C%20x%5Cto%20x_0%5C%5C(x%5Cto%20%5Cinfty)%7Df(x)$ 存在，且等于 $A$ .

这个定理很好理解，请看下图：

这就是我们在第一期中存疑的 $%5Clim_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D$ 的求值问题。当时我们猜测它是等于1的（图中看不出这个函数在0处的间断点）。观察图像，我们发现：当 $x%5Cin%20%5Cmathring%20U(0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)$ 时， $%5Ccos%20x%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%5Cleq1$ .（这个证明参见《高等数学》（同济第七版）P46-P47，本人觉得其非常巧妙而有价值。上册教材电子版链接我会在下期给出）而当 $x%5Cto%200$ 时， $%5Ccos%20x$ 和1都是趋近于1的， $%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D$ 又被夹在这两个之间，那它就“别无选择地”必须趋近于1.

这样的数学思想我们并不是第一次遇到。例如在实数集内解不等式 $(x%2B1)%5E2%5Cleq0$ 。这个方程所有人都会解，由于 $(x%2B1)%5E2%5Cgeq0$ 和已知条件得出 $(x%2B1)%5E2%3D0%5Cimplies%20x%3D-1.$ 这就是 $(x%2B1)%5E2$ 被夹在了0和0之间，所以只能等于0.这正是“夹逼”的体现。

$%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%3D1$ 是一个重要极限。

然后介绍第二个极限存在准则：

准则Ⅱ 单调有界函数必有极限。

同样地，我们仍数形结合地考虑它。

如图4，观察 $f(x)%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ 在 $x%5Cin%20(1%2C%2B%5Cinfty)$ 时的图像。显然它是有界（有界是指既有上界又有下界）的：小于等于0的任何数都是下界，大于等于1的数都是上界。它在这个区间内也是单调增加的。这就是一个在某区间内变动的变量不能超过它的最小上界（也叫上确界），也就是说小于最小上界的任何数它（的绝对值）都能超过，而大于等于它的任何数它都不能超过。不仅如此，这个变量又必须不断增加，那么变量只能趋于最小上界。