现代张量分析及其在连续介质力学中的应用-第二部分 张量微分学

张量微分学 主要包括：

（1）体积介质上张量场场论-微分学

（2）曲面介质上张量场场论-微分学

（3）张量场场论-单位正交标架

（4）非完整基理论-一般理论

（5）非完整基理论-曲面主方向正交基单位化的非完整基理论（本组研究）

（6）张量映照的微分与导数

上述（1）-（5）部分为 张量场场论的微分学（涉及体积、曲面、曲线上张量场的微分学）；（6）部分隶属 张量赋范线性空间的微分学

（1）体积介质上张量场场论-微分学 

1-1 分析基础 曲线坐标系与局部基

基于 微分同胚 诱导 局部协变基；基于 对偶关系 确定 局部逆变基

1-2 分析基础 标架运动方程

基于 向量相对于协变基与逆变基的表示形式，获得 协变基向量与逆变基向量关于坐标分量的变化率 相对于协变基与逆变基的表示，自然引入Christoffel符号。进一步获得 第一类Christoffel符号 由 度量张量协变分量的确定形式。

1-3 分析基础 张量场的一阶变化率

引入 张量范数，基于 极限分析 获得  张量场整体相对于坐标分量的变化率

基于 标架运动方程 整理 极限分析的结果，自然引入 张量分量的协变导数

基于 张量场整体相对于坐标分量的变化率 定义 梯度算子；基于 梯度算子 定义 相关微分算子。 

1-4 分析基础 Eddington张量

为表示 在三维欧氏空间中两个基向量的叉乘 相对于局部基的表示 引入 Eddington张量，并且研究 Eddington张量的基本性质

1-5 分析基础 协变导数的性质

协变导数的 线性性 与 Leibniz性

基于直接计算 说明 体积介质中 度量张量 与 Eddington张量相对于坐标分量的变化率 为零

说明 体积介质中张量场关于坐标分量的二阶变化率的分量表示 与 可交换性 

（2）曲面介质上张量场场论-微分学 

2-1 分析基础 参数坐标与正则点

光滑曲面正则点上 切平面的局部协变基

2-2 分析基础 局部基

基于切平面上的基 与 法向量 确定 全空间的 局部基（曲面半正交基）

2-3 分析基础 法向量的表示

引入 Hodge 星算子（为此首先引入 反称张量的外积表示）表示 高维曲面的单位法向量

2-4 分析基础 标架运动方程

建立 曲面半正交基的标架运动方程，引入 曲面上的Christoffel符号、度量张量 与 曲率张量；同样有 Christoffel符号可以由度量张量确定

2-5 分析基础 曲面上张量场的一阶变化率

基于极限分析 获得 曲面上张量场关于坐标分量的一阶变化率；并且基于 标架运动方程 整理极限分析的结果，以此引入 张量分量的协变导数（仅对切平面上的指标有效）

2-6 分析基础 曲面上张量场的二阶变化率

基于 曲面上张量场关于坐标分量的一阶变化率的表达式 获得 曲面上张量场关于坐标分量的二阶变化率的表达式

欧氏空间中高维曲面上张量场关于坐标分量的二阶变化率具有可交换性，就此通过 配平的方式 获得 Gauss-Codazzi方程 与 Ricci等式，自然引入 Riemann-Christoffel张量（通过曲率张量定义）

（3）张量场场论-单位正交标架 

3-1 基本结构

结构 单位正交标架关于单参数的变化率依然由此单位正交标架表示的系数矩阵为反对称阵

3-2 曲线上Frenet标架

基于弧长参数 获得 曲线上Frenet标架

基于 结构，结合 无限小分析，获得 曲率 的几何意义：二阶精度下，曲线的相对变化 等同于 密切平面中的曲率圆（半径为曲率的倒数）

弧长参数 与 一般参数 情形，计算 曲率 与 挠率，引入结构：向量相对于指向的正交分解

相关应用：速度、加速度、加速度的时间变化率 在 Frenet标架下的表示

相关应用：曲线上张量场相当于弧长参数的变化率

3-3 曲面上主方向单位正交标架

结构：同时对角化

同时对角化的几何意义：度量张量的协变分量矩阵合同到单位阵 解释为 确定切平面上的主方向单位正交基 

同时对角化的几何意义：曲率张量的协变分量矩阵合同到对角阵 解释为 曲率张量相对于切平面上主方向单位正交基的展开具有 谱表示 的形式 

建立 曲面上主方向单位正交基

曲面主方向单位正交基的标架运动方程，系数矩阵中含有 主曲率 与 测地曲率

基于 曲面主方向单位正交基的标架运动方程，结合无限小分析，获得 主曲率 与 测地曲率的几何意义

应用：曲面上张量场相对于主方向参数的变化率

说明：弧长参数坐标非一般性存在

（4）非完整基理论-一般理论

 4-1 完整基之间的转换

张量场的梯度 相对于两个完整基的分量（张量分量协变导数）之间的转换关系；以此，确定两个完整基下的Christoffel符号之间的转换关系

4-2 非完整基上的构建

先有一个 完整基，然后基于基转换系数构建 非完整基

首先基于完整基确定 张量场的梯度，然后基于张量分量（张量场的梯度作为一个新的张量）的 坐标转换系数 确定 张量场的梯度相对于非完整基的分量

考虑 完整基为正交基，非完整基为正交基单位化后的单位正交基，此情形下 基转换系数、形式偏导数、形式Christoffel符号、形式协变导数的基本形式

4-3 完整正交基单位化的情况

概述 非完整基理论的基本思想与方法

计算 形式Christoffel符号

计算 形式协变导数

完整基为正交基，非完整基为其单位化后的单位正交基情形，形式偏导数、形式Christoffel符号、形式协变导数都具有简洁的形式，就此可以便捷地写出各种张量微分算子在此单位正交基下的分量表达式。现应用事例为：球坐标系下向量场散度的表达式

（5）非完整基理论-曲面主方向正交基单位化的非完整基理论（本组研究）

 5-1 基本理论

基于微分同胚存在性定理，获得 基面邻域上存在曲线坐标系的条件，表现为对法向延拓的限制

当地曲面主方向正交基的Lame系数，建立当地曲面与基面的Lame系数之间的关系

计算 形式Christoffel符号，直接联系与 当地曲面的主曲率、测地曲率；建立 当地曲面与基面的测地曲率之间的关系

计算 当地曲面的曲率张量；建立 当地曲面与基面的主曲率之间的关系

理论总结——本组研究成果

5-2 应用事例

应用事例-01：基面为球面的构造

应用事例-02：非规则环面

5-3 混合形式偏导数

回顾 曲面上张量场分量的协变导数的次序交换，联系与Riemann-Christoffel张量。

基于计算研究 形式偏导数交换次序的问题，自然引入非完整对象

计算获得 完整正交基单位化的非完整基的非完整对象

曲线主方向正交基单位化的非完整基的非完整对象，获得形式偏导数交换次序的关系式（重要关系式）——本组研究成果

（6）张量映照的微分与导数

 6-1 范数 极限 可微性

引入 张量赋范空间，就此 可以按 赋范线性空间上的微分学 系统性获得 张量映照的相关微分学结果

6-2 仿射量相关

按可微性分析，获得仿射量相关映照的微分或者导数；微分形式总可以获得，但导数形式需要看情况。本部分归纳了 张量映照微分/导数计算的 基本结构。

6-3 隐映照相关

按张量映照微分/导数计算的基本结构，计算 隐映照的一阶微分、二阶微分

力学数学 谢锡麟

2023年07月27日 第一次发布