『数学』二次函数难题精讲3

2023-03-25 09:21 作者:Unfair-sany 0人读过 | 我要投稿

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听从你们的选择,传送门保留了.

读前须知:

(疑似某失踪鸽子回归)

抱歉啊各位,这几周由于身体以及作业等原因没有更新.顺便说一下up主刚刚才一模考试过,所以说这一次更新可能是3月份唯一的一次更新(悲.

本期内容就图一乐就可以了,正规的中考谁会考这个啊?

正文:

我突然发觉一件事,就是如果现在你让我去讲之前讲过的二次函数难题的话,我就什么都讲不出来力.我估计我应该是废了(悲.

那么我们就来看看这一期的题目吧.

一.例题

例.如图,经过定点A的直线y=k(x-2)+1(k<0)交抛物线 $y%3D-x%5E2%2B4x$ 于B,C两点(点C在点B的右侧),D为抛物线的顶点.

(1)直接写出点A的坐标;

(2)如图1,若△ACD的面积是△ABD面积的两倍,求k的值;

(3)如图2,以AC为直径作 $%5Codot%20E$ ,若 $%5Codot%20E$ 与直线y=t所截的弦长恒为定值,求t的值.

这题的含参量有些吓人.

先看看题目哈,免得到时候讲的时候又听不懂或记不住条件了.

二.讲解

(1)问没有什么好说的,难题精讲1里有关于这方面的讲解,这里就不再重复.A的坐标为(2,1).

对于(2)问,我们要把面积比转化为线段之比,这样会简单些.

因为△ACD和△ABD有公共边AD,所以我们可以作 $BM%5Cbot%20AD$ 于M, $CN%5Cbot%20AD$ 于N.如图3:

易得CN=2BM的关系式和D(2,4),那么AD平行于y轴.

易证△ABM∽△ACN,可得AN=2AM

那么我们可以设 $B(m%2C-m%5E2%2B4m)%2CC(n%2C-n%5E2%2B4n)$ .

这样可得 $M(2%2C-m%5E2%2B4m)%2CN(2%2C-n%5E2%2B4n)$ .

可得BM=2-m,CN=n-2, $MA%3D-m%5E2%2B4m-1%2CAN%3Dn%5E2-4n%2B1$ .

这样我们就有如下两个方程:n-2=4-2m, $n%5E2-4n%2B1%3D-2m%5E2%2B8m%2B2$ .

解得 $m%3D%5Cfrac%7B4%5Cpm%20%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B2%7D%20%2Cn%3D2%5Cpm%20%5Csqrt%7B6%7D%20$ (正负号取相同的).

根据 $k%3D%5Cfrac%7By_2-y_1%7D%7Bx_2-x_1%7D%20$ 得 $k%3D%5Cfrac%7B-m%5E2%2B4m%2Bn%5E2-4n%7D%7Bm-n%7D%20%3D%5Cfrac%7B(n%2Bm)(n-m)%2B4(m-n)%7D%7Bm-n%7D%3D4-m-n%20$ .

因为n=6-2m,可得 $k%3Dm-2%3D%5Cpm%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B2%7D%20$ .

因为k<0,所以 $k%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B2%7D%20$ .

(3)问的话,你首先应该知道,正经的考试是不会考这个的,所以说这个问的具体方法你了解就好,可能在高中有时用得上.

这里令y=t交 $%5Codot%20E$ 于F,G两点,作 $EH%5Cbot%20FG$ 于H.如图4:

这里的FG就是那个定弦,而作垂直是要运用垂径定理.

C的坐标我就将就(2)问的用吧.

那么E就可以通过是AC的中点表示为 $(%5Cfrac%7B2%2Bn%7D%7B2%7D%20%2C%5Cfrac%7B-n%5E2%2B4n%2B1%7D%7B2%7D%20)$ .

则 $CE%5E2%3D(n-%5Cfrac%7B2%2Bn%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(-n%5E2%2B4n-%5Cfrac%7B-n%5E2%2B4n-1%7D%7B2%7D)%5E2$ $%3D(%5Cfrac%7Bn-2%7D%7B2%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7B-n%5E2%2B4n-1%7D%7B2%7D)%5E2%20$ , $EH%5E2%3D(%5Cfrac%7B-n%5E2%2B4n%2B1%7D%7B2%7D-t)%5E2$ .

那么这里就有同学不懂了,为什么我们这里要求这些线段的平方呢?其实这里主要是因为作了垂线之后我们会用到"半径半弦弦心距"的直角三角形,一看到直角三角形我们就应该想到勾股定理,所以我们要把这些线段的平方表示出来,并且过一会这两东西要作差,到时候可以利用平方差来把式子给降次，这也是为什么我现在不把平方打开的原因.

那么有 $CE%5E2-EH%5E2%3DFH%5E2%3D(%5Cfrac%7Bn-2%7D%7B2%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7B-n%5E2%2B4n-1%7D%7B2%7D)%5E2-(%5Cfrac%7B-n%5E2%2B4n-1%7D%7B2%7D-t)$ ,

对后两项用平方差公式,得 $%5Cfrac%7Bn%5E2-4n%2B4%7D%7B4%7D%2B(-n%5E2%2B4n-t)(t-1)$ ,

展开,得 $%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B4%7D-c-1-n%5E2t%2B4nt-t%5E2%2Bn%5E2-4n%2Bt$ ,

合并,得 $(%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D-t)n%5E2%2B(4t-5)n-t%5E2%2Bt-1$ ,即 $(t-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D)(-n%5E2%2B4n)-t%5E2%2Bt%2B1$ .

因为在这个式子中,FH为FG的一半,所以FH及其平方为定值,而在其平方的表达式中,t是一个常数,而n为变量,如果我们要使其为定值的话,那么在表达式中应该不含n,不然它的长度会随点C的运动即k的改变而改变,就不是定值了.那么就可以得到 $t-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%3D0%2C%E5%8D%B3t%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D$ .