【趣味数学题】笛卡尔四圆定理
郑涛（Tao Steven Zheng）著
笛卡尔（Rene Descartes，1596 年 - 1650年）在1643年送给波希米亚的伊丽莎白公主（Princess Elizabeth of Bohemia）的一封信有提出这个著名的几何定理（虽然他没有证明）。雅各布·施泰纳（Jakob Steiner，1796－1863）在将近200年后的1826年首次证明了这个定理。在江户时代日本，这道题最早出现于1796年的算额（sangaku）。日本数学家Hashimoto Masataka 在《筭法點竄初學抄》（Sanpo Tenzan Shogakusho，1830年）也有记载。
【问题】
假设有四个圆 位于同一个平面上，每个圆与其他三个圆相切。设各圆的半径为
，证明
提示： 如果有三个角度 其中
，那么
。
【题解】
设 ，
，
，
，
和
，还有三个角度
，
和
。
通过在三角形ADB上应用余弦定律，得
展开以上方程式
然后求 ，得
用同样的方法，能得出
设
使用提示中的三角恒等式，得
展开以上方程式，可以得到
在方程式两边除以 :
把变量 换用
表达：
展开方程式的左手边：
展开方程式的右手边：
所以，
在方程式两边除以 :
在方程式两边加 ：
这可以简为
注
求解 给出两个答案：一是内切圆的半径，二是外切圆的半径。
内切圆的半径
外切圆的半径
