一部分序数

递归序数 1.0.0(零)。这是最小的序数，也是唯一一个既不是后继也不是极限的序数。 1.1.1(一)。这是最小的后继序号。 1.2.2. 1.3.42 1.4.ω.这是最小的极限序数，也是最小的无限序数。 1.5.ω + 1.这是最小的无限后继序数。 1.6.ω2. 1.7.ω2. 1.8.ωω. 1.9.ωωω . ω 1.10.ε0 = ϕ(1, 0).这是ω，ωω，ωω，的极限。。。，ξ→ψψ的最小不动点； 一般来说，α → εα = ϕ(1，α)定义为枚举不动点的函数 ξ → ωξ.这是阿砣算法的证明理论序数。 1.11.ε1 = ϕ(1, 1). 1.12.εω. 1.13.εε0 . 1.14.ϕ(2, 0).这是ε0，ε0，.。。，ξ → εξ的最小不动点；总的来说， α → ϕ(γ + 1，α)定义为枚举ξ → ϕ(γ，ξ)不动点的函数。 1.15.ϕ(ω, 0).这是在原始递归序数函数下闭合的最小序数>ω([avigad 2002，推论4.5])。 1.16.费夫曼-舒特序数γ0 = ϕ(1，0，0)(也称ψ(ψω)为适当的坍缩函数ψ)。这是ε0，ϕ(ε0，0)，ϕ(ϕ(ε0的极限)。。。，ξ → ϕ(ξ的最小不动点，0)。这是ATR0的证明理论序数。 1.17.阿克曼序数ϕ(1，0，0，0)(对于适当的收缩函数ψ也是ψ(ψω2))。 1.18.“小”维布伦序数(对于适当的收缩函数ψ，ψ(ψψ))。这是ϕ(1的极限，0)，ϕ(1，0，0)，ϕ(1，0，0，0)。。。，具有有限多个变量的凡勃伦函数的值域。 1.19.“大”维布伦序数(对于适当的收缩函数ψ，ψ(ψψ))。这是凡勃伦函数的范围，有那么多变量。 1.20.Bachmann-Howard序数(对于适当的坍缩函数ψ，ψ(ε+1))。这是Kripke-Platek集合论(KP)的证明理论序数。 一 1.21.εεε+1(“塔库提-费夫曼-布赫霍尔茨序数”)的可数坍缩，它是π1-理解+超限归纳的证明论序数。 0 1.22.εI+1的可数折叠，其中I是第一个不可接近的(=π1-不可描述的)基数。这是Kripke-Platek集合理论的证明理论序数，通过序数类(KPi)的递归不可接近性来扩充，或者，在算术方面 2 ⇼1-领悟+超限归纳。参见[JaegerPohlers1983]。(对比2.3。) 1.23.εM+1的可数折叠，其中M是第一个Mahlo基数。这是KPM的证明理论序数。参见[Rathjen1990]。(对比2.5。) 一 1.24.εK+1的可数折叠，其中K是第一个弱紧(=π1-不可描述)基数。这是KP+π3-Ref的证明论序数。参见[Rathjen1994]。(对比2.6。) 0 1.25.εξ+1的可数折叠，其中ξ是第一个π2-不可描述基数。这是KP+ω-Ref的证明论序数。参见[steger 2010年，第一部分] X (在他的符号中，这个序数被称为ψψ+1，其中X =(ω+；p；ϵ;ϵ;0)). 0 (对比2.7。) 1.26.稳定性的证明理论序数:参见[steger 2010，第二部分] 这个序数将被称为ψυ+1，其中X =(ω+；p；ϵ;ϵ;0)). X 0 递归大的可数序数 一 2.1.丘奇-克莱尼序数ωCK:最小容许序数>ω。这是最小的序数，它不是递归的顺序类型(相当于:hyperarith- metic)ω上的良序。ωCK递归(分别为。ω的ωCK-半递归)子集 一 一 恰好是1。π1)ω的子集，它们也正好是 一 一 子集递归(分别为。半递归)在E(或E#中，检查这个【这个在[HinmanMoschovakis1971，2，引言备注]中表述模糊且无证明】， 也间接提到，但有一个论点，在[Hinman1978年，第六章，介绍re-marks 6对第316页]；但本质论点应该是甘迪的选择定理，[Hinman1978，第六章，第292页上的定理4.1或第294页上的推论4.3]])。 ω 一 2.2.ωCK:允许的最小极限。这个序数是不允许的。这是最小的α，使得Lα ∩ P(ω)是π1-理解的模型(参见[Simpson2009，第246页上的定理VII.1.8和第292页上的定理VII.5.17以及对第VII.5的注释 页（page的缩写）293]). 2 2.3.最小的递归不可访问序数:这是最小的序数，是可接受的，也是可接受的限度。这是最小序数α，使得Lα = KPi，或者，在算术方面，使得Lα ∩ P(ω)是1-理解的模型(参见[Simpson2009，第267页上的定理VII.3.24和第292页上的定理VII.5.17以及第293页上的VII.5注释的勘误表1])。(对比1.22。) 一 这是最小的序数ωE1，而不是有序递归的有序类型 在图古埃泛函E1中([Hinman1978，第八章，第421页上的定理6.6])，或者等价地，在超跳跃中递归；并且对于这个α，α-递归(分别为。ω的α-半递归)子集恰好是递归(相应地。半递归的)，在E1 ([Hinman1978，第八章，推论4.16对p. 412])。 这是最小的α，使得lα= KP+β，其中β断言对于任何有充分根据的关系，传递折叠的存在，或者等价地，最小 一 容许α使得Lα认为是良序的任何序确实是良序:参见[Nadel1973，定理6.1 on p. 291](比较[Harrison1968]关于2.1的序数ωCK的否定结果；另请比较[Gostanian1979] 相关事实见2.9)。 2.4.最小递归超不可达序数:即最小递归不可达序数，它是递归不可达序数的一个极限。 2.5.最小递归Mahlo序数:即最小容许序数α，使得对于任何α-递归函数f : α → α，存在一个在f下闭的容许β < α。这是最小序数α，使得Lα = KPM。(对比1.23。)这是最小的序数，而不是 superjump ([AczelHinman1974]和[harrington 1974])；对于这个α，α-递归的 一http://www.personal.psu.edu/t20/sosoa/typos.pdf (resp。ω的α-半递归)子集恰好是超跳(相应地。超跳的部分正规化中的半递归[Harrington1974，第50页上的定理5])。 关于这个序数还要注意:[RichterAczel1974，推论9.4(ii)第348页]。 2.6.最小的π3-反射(“递归弱紧”)序数。这也可以被描述为最小的“2-容许”序数:参见[RichterAczel1974，theo- rem 1.16 on p. 312]。(对比1.24。) 还有σ3归纳算子的闭包序数的sup:[richteraczel 1974， 303页上的定理A】。对于这个α，ω的α-半递归子集恰好是ω的σ3-归纳可定义子集([RichterAczel1974，第303页上的定理A和第304页上的定理D]；参见[Simpson1978，第370页上的例子4.12]。 2.7.最小(+1)-稳定序数，即最小α使得Lα ≤1 Lα+1。这 0 是最小的π1-反射(即对于每个n∈ωπn-反射)序数:[RichterAczel1974，定理1.18在第313和333页]。 (对比1.25。) 一 2.8.最小(+)-稳定序数，即最小α使得Lα ≤1 Lα+，其中α+是>α的最小容许序数。这是最小的π1-反射序数:[RichterAczel1974，第313和336页上的定理1.19]。还有关闭的sup或者- 一 π-1归纳算子的dinals:【richteraczel 1974，303页或10.7页上的定理B 一 在第355页上]和[Cenzer1974，定理A在第222页上]。对于这个α，ω的α-半递归子集恰好是ω的π1-归纳可定义子集([RichterAczel1974，304页上的定理D]；参见[Simpson1978，第370页上的例4.13]。 这是最小的序数 # G ω1 1不是中良好排序递归的顺序类型 由G#(f ) ≈ f (0) f)定义的非确定泛函G# (f(1))；对于这个α 一 一 (ω1 )+ 一 α-递归(分别为。ω的α-半递归)子集恰好是递归(相应地。半递归的)。 2.9.最小σ1-反射序数。也是σ1的闭包序数的sup 一 一 一 归纳算子:[RichterAczel1974，303页定理B或355页10.7]。对于这个α，ω的α-半递归子集恰好是ω的σ1-归纳可定义子集([RichterAczel1974，304页上的定理D]；参见[Simpson1978，第370页上的例4.14]。 这个序数大于2.8:[aandera 1974，定理6的推论1，第213页]；另见:[Simpson1978，定理6.5]和[GostanianHrbácˇek1979]。 这是最小的序数 # E ω1 1不是中良好排序递归的顺序类型 一 Tugué功能E1的非确定性版本E#;并且对于这个α，α-递归(分别为。ω的α-半递归)子集恰好是递归(相应地。表示“半” 一 递归)(结合[Aczel1970，第313页上的定理1，第318页上的定理2] 和[RichterAczel1974，第304页上的定理D])。 这是最小的容许α，它不是Gandy的，即，使得α的每个α-递归线性序，其中Lα+认为它是一个良序(α+是下一个容许的),实际上是一个良序:见[Simpson1978，定理6.6 页（page的缩写）377]和[Gostanian1979，定理3.3](关于术语“Gandy序数”，参见[AbramsonSacks1976]:在[Gostanian1979]中，相同的序数称为“好”)。 【找到这个:这个序数有多稳定？] 一 2.10.最小的(++)-稳定序数，即最小的α使得Lα ≤1 Lα++其中α+，α++是两个最小的容许序数>α。这是σ1-反射且大于2.9的序数([Simpson1978，376页上的定理6.4]和下面的命题3.1)。 2.11.最小的不可达稳定序数，即最小的α使得Lα ≤1 Lβ 其中β是最小的递归不可达(参见2.3)序数>α。 2.12.最小的Mahlo稳定序数，即最小的α使得Lα ≤1 Lβ其中 β是最小的递归Mahlo(参见2.5)序数>α。 2.13.最小的双(+1)-稳定序数，即最小的α使得Lα ≤1 Lβ ≤1 Lβ+1(参见2.7)。 2.14.不可投射序数中最小的稳定序数，即最小的α 使得Lα ≤1 Lβ其中β是最小的不可投影(2.15的序数)。 一 这是最小的序数ωR，不是良序递归的序类型 在[Harrington1975]中定义的某种类型3官能R中；对于这个α，ω的α-递归子集恰好是r中的递归子集。) 2 2.15.最小的不可投射序数，即最小的β使得β是β稳定序数的极限(序数α使得Lα ≤1 Lβ(参见2.14)；换句话说，最小的β使得Lβ = KPi+“稳定序数是无界的”。这是最小序数β，使得lβ= KPω+σ1-sep(参见[Barwise1975，第五章，第175页上的定理6.3])，或者使得Lβ ∩ P(ω)是π1-理解的模型(参见[Simpson2009，第267页上的定理VII.3.24和第292页上的定理vii.5.17)。 一 一 在Jensen的术语中([Jensen1972])，这是最小序数β使得πβ > ω，事实上最小序数β>ω使得πβ=β:即最小序数β使得ω的每个σ1(lβ)子集是β-有限的。有时也称为最小的“强容许”(或“强σ1容许”)序数。 3 2.16.最小(弱)σ2-容许序数。这是最小序数β，使得lβ= KPω+∏2-sep，或者使得Lβ ∩ P(ω)是∏1-理解的模型(参见[Simpson2009，第267页上的定理VII.3.24和第292页上的定理vii.5.17)。 2 2 在Jensen的术语中([Jensen1972])，这是最小序数β使得ξβ > ω，事实上最小序数β>ω使得ξβ=β:即最小序数β使得 ω的每个∏2(lβ)子集都是β有限的。 在[MarekSrebrny1973，附录]的术语中，这是第一个2-gap序列。 2.17.分枝分析的序数(常写成β0)。这是最小的β n lβ= vσn-sep(完全分离方案)，或者Lβ ∩ P(ω)是一个模型 完全二阶分析(二阶理解)，事实上Lβ = ZFC (即ZFC减去幂集公理)。 这开始了可构造宇宙中的第一个缺口，这个缺口的长度是1:看到了吗 [Putnam1963]和[MarekSrebrny1973，第374页上的推论4.5]。 注意，这个序数是(+1)-稳定的(参见2.7)，但不是(+2)-稳定的:[MarekSrebrny1973，384页定理6.14的推论]。 2.18.可构造宇宙中长度为2的第一个缺口的起点。如果β是这个序数，那么β是第β个间隙序数([MarekSrebrny1973，377页上的定理4.17])。 2.19.在可构造论域中开始长度为β的间隙的第一个序数β。 一 2.20.序数β = ωLα其中α是2.21的序数。然后通过构造β开始一个长度为α = β+的间隙(下一个允许的序数)。 2.21.使得lα= KP+“ω1存在”的最小序数α，即不局部可数的最小容许α，或者等价地，使得lα= KP+“p(ω)存在”的最小α(参见命题3.2)。 2.22.最小序数α，使得lα= zfc+“ω1存在”，或者等价地使得lα= zfc+“p(ω)存在”(比较命题3.2)。这是可构造宇宙中第一个三阶间隙的开始。 一 2.23.ZFC最小模型Lα中的最小不可数序数ωLα，假设它存在(见2.24)。这个序数是α稳定的。 2.24.最小序数α使得Lα = ZFC(假设它存在)，即ZFC的最小模型的高度。 2.25.最小稳定序数σ，即最小σ使得Lσ ≤1 L，或者等价地Lσ ≤1 Lω1。集合Lσ是所有x的集合，它们在L中是σ1-可定义的，没有参数([Barwise1975，第五章，推论7.9(i)，第182页])。 一 这个序数投射到ω上(即在詹森的术语中)，ψσ=ω([bar wise 1975， 第五章，第183页上的定理7.10(i))。 这是最小序数δ1，它不是ω上良序∏1的序类型； 2 2 2 而实际上，对于这个σ = δ1，σ-递归(resp。σ-半递归)ω的子集是 恰好是1(分别是。σ1)ω的子集([Barwise1975，第五章，第189页上的定理8.2 2 2 以及第191页上的推论8.3])。 2 这也是最小的σ1-反射序数([Richter1975])。 注意:这份文件可能不应该开始列出大枢机主教，因为 一 (0)一个暗示另一个不存在的事实，这是关于“序数”，而不是“基数”，(1)它们已经在其他地方很好地涵盖了(例如，见[Kanamori1997])，以及(2)我们不想开始作出假设，例如，关于ωL是否等于ω1，但是不作出这样的假设，就不再可能正确地排列定义。也许一个中间的方法是假设V = L用于排序，忘记可测量的基数等等，并且仍然包括不可访问的、Mahlo、弱紧等等。 各种说法 同样，这些陈述都不是我的，它们是众所周知的事实，我找不到合适的公开证明。 一 提议3.1。如果α使得Lα ≤1 Lα++(其中α+，α++是大于α的两个最小容许序数)，那么α是σ1-反射的。(在[辛普森1978，定理6.4]中陈述 第376页上]。) 0 证明。假设Lα = ∃U (ϕ(U))其中ϕ是一个π1(=一阶)公式，常数在Lα中，额外的关系符号u .我们想证明存在β < α使得Lβ = ∃U (ϕ(U))。 现在由[RichterAczel1974，第334页上的定理6.2](应用于否定的 ∃U (ϕ(U)))我们可以找到一个π1公式∀z(ψ(S，z))(具有与ϕ相同的常数)使得对于任何包含这些常数的可数传递集a和任何容许的B A我们有B = ∀z(θ(A，z))当且仅当A = ∃U (ϕ(U))。 特别是Lα+ = ∀z(θ(Lα，z)。所以Lα+ = ∃A(trans(A) ∧(一个 =θ+v = l)∧ ∀z(θ(A，z .)，其中θ是一个陈述，它解释了a的充分性(见[耶希1978] (13.9)和引理13.2和13.3 于是依次l α++ = ∃c(trans(c)∧(c = KP+v = l)∧(c = ∃a(trans(a)∧(a =θ+v = l)∧∀z(θ(a，z))))。但这是一个σ1公式，常数在Lα中，所以假设我们有Lα =，一样的东西。所以存在C ∈ Lα传递的且包含ϕ常数的，且必然是Lγ(对于γ < α)因为C = KP+V =L，使得lγ= ∃a(trans(a)∧(a =θ+v = l)∧∀z(θ(a，z))。所以反过来存在一个∈ Lγ传递的，它必然是Lβ(对于β < γ)因为一个=θ+v = l，使得Lγ = ∀z(θ(Lβ，z)。所以Lβ = ∃U (ϕ(U)。 提议3.2。以下在KP中成立:如果一个⊆ ω是可构造的，那么A ∈ Lγ对于某个可数序数γ。 特别地，在KP + V = L中，如果存在一个不可数序数δ，那么P(ω) 存在并且可以定义为A ∈ Lδ:一个⊆ ω. 证明。我们必须验证通常的证明(参见[Devlin1984，第二章，第84页上的引理5.5]或[Jech1978，第110页上的引理13.1]或[Jech2003，第190页上的定理13.20])在KP中有效。 在L中工作，我们可以假设V = L成立。同样，我们可以假设ω存在 因为如果每个集合都是有限的，那么结果就是平凡的。 因为A是可构造的，所以存在δ极限，使得A ∈ Lδ。我们可以为KP内的Lδ定义1-Skolem函数，并且因为ω存在，我们可以使用归纳法(参见[Barwise1975，第38页上定义9.1之后的注释])来构造Lδ内Lω ∪ A的Skolem壳m。因为M是外延的， → 我们现在可以使用Mostowski坍缩π:M∞N 把M折叠成一个传递集N，它必然是一个Lγ。现在M通过构造是可数的，所以N = Lγ也是，所以γ是。而且我们有π(A) = A所以A ∈ Lγ，γ可数，如断言的。