【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep78】上极限及下极限：定理（下）

今天继续来聊上下极限的重要定理——

其实这是一条性质+一条定理——

1. 性质：数列{xn}恒有上/下极限；

2. 定理：上下极限相等是数列收敛的充要条件。

性质的证明，书上分两种情形讨论，情形二又分为两种情形，我们继续聊情形二的第二种情况。

情形二：数列{xn}有上界——

b.数列{Mn}收敛——

即数列{Mn}有有限极限，即为M*。

我们上次证明了M*的两个性质——

1）性质一：对于任意ε>0，存在N'，当n>N'，有xn<M*+ε。

2）性质二：对于任意ε>0与给定的N，存在n'>N，有xn'>M*-ε。

现在我们利用这两条性质来证明这种情形下，数列{xn}上极限存在——

 分析——

1. 先要证明M*是一个子列的极限，已知极限，构造出来一个子列满足要求即可。

2. 观察上述两个性质，存在类似于数列极限定义的形式，即给定ε>0，存在N，满足不等式。其中性质一的ε是任意的，而性质二的ε是给定的，所以性质一的自由度更高。

3. 构造数列，往往从自由度高的部分入手，限制范围，再与自由度低的部分建立连接。

4. 思维过程则是，从自由度低的开始思考，如何让自由度高的部分适应自由度低的部分。给定一个确定的ε，与一不冲突，自然满足二，同时也确定了N的取值。

5. 问题在于给定一个ε，只能确定一个N的取值，所以书上用子列第i-1项生成第i项的方式去构造数列，一次确定一项，无限操作，就可以得到目标子列。

证明——

step1：证明M*是一个子列的极限——

1. 先选出目标子列的前i-1项，其在原数列所在项序号满足n1=1<n2<n3<……<ni-1；

2. 根据性质一：给定一个εi，得出一个Ni使得，当n>Ni，有xn<M*+εi；

3. 根据性质二：给定εi和N=max{Ni，ni-1}，得到ni>N>=Ni，有xni>M*-εi；

4. 综合2，3，ni>N=max{Ni，ni-1}>=ni-1，有|xni-M*|<εi；

5. 注意εi给出的任意性，我们可以取一列无穷小作为εi，那么数列{xni}与M*之间相差一个无穷小，根据之前学过的性质，得到{xni}的极限为M*。

step2：证明M*是所有部分极限中最大的——

1. 对于任意收敛子列{xni}，有极限a；
   

2. 根据性质一：对于任意ε>0，存在N'，当ni>N'，有xni<M*+ε；

3. 由极限的性质，得出a<=M*+ε；

4. 又由于ε是任意小，得到a<=M*，否则，设存在a0>M*，则存在ε0>0，a0-M*=ε0，导出矛盾，不等式成立，即M*是所有部分极限中最大的，为数列{xn}的上极限。

同理可以导出下极限的相关性质——

下面是定理的证明——

定理：上下极限相等是数列收敛的充要条件——

证明（记数列下极限为M#，只证有限极限的情况，记M*=M#=a）——

充分性——

1. 由上极限性质一：对于任意ε>0，存在N1，当n>N1，有xn<a+ε；

2. 由下极限性质一：对于任意ε>0，存在N2，当n>N2，有xn>a-ε；

3. 综合1,2：对于任意ε>0，存在N=max{N1，N2}，当n>N，有|xn-a|<ε，即数列{xn}收敛于a。

必要性——

1. 由柯西准则：对于任意ε>0，存在N，当n，n'>N，有|xn-xn'|<ε；

2. 取定n'=N+1，则xn'-ε<xn<xn'+ε，即n>N之后各项都位于（xn'-ε，xn'+ε）之间；

3. 由2，M*-M#<2ε，其中ε为任意小，即M*=M#。

就到这里！