S6G5 卫星绕地的万有引力模拟

2020-07-26 17:16 作者:学用数学 0人读过 | 我要投稿

最近与小朋友谈到被苹果砸到的牛顿就问小朋友说苹果为何会落下呢？小朋友得意的说我知道是重力！但再接着问小朋友那月亮为何不会被地球吸下来呢呢？小朋友困惑一下说是不是月亮太远了！说实在我在 10 年前还也答不出这问题！

针对这问题我就动手做了个 GGB 来模拟演示探究一下。在这 Geogebra 中，我将地球重量、半径与万有引力参数丢到万有引力公式，让 Geogebra 计算不同位置下，位置影响加速度，加速度再去影响速度、速度再改变位置，通过迭代模拟还原出运行轨迹！可了解到原来其实卫星其实是会受到地球引力吸引的，只不过他的速度刚刚好，让他转圈圈！如果速度太慢就会回到地球表面，但速度太快，就会像暑假ㄧ样一去不复返。

学习指引

在这节的学习的核心点就是，模拟实际问题。通过万有引力的参数，来计算不同高度下的物体的运行速度，受重力影响的轨迹。主要学习用表格区来进行迭代。最后再学习利用按钮的脚本来切换显示的区域。

任务1 受重力影响的前10秒

【目的】在地球表面高 h =500m 处水平抛射一个初速度为 v=0.3 km/s 的物体，每秒更新受万有引力影响下的位置、速度、与加速度。

【说明】先建立半径R、高度 h、万有引力常数 G 、地球质量 Me，其中长度的单位为 KM。给定初始位置 B2=(0,R+h) ，初速度 C2=(v,0)，而加速度 D2 利用 GM/R^2 由 B2 的位置来决定。接着利用表格区来更新每秒的位置、速度、加速度的变化。

【操作】

R = 6470   # 以KM 为长度单位

G = 6.67*10^(-20)   # 万有引力常数以KM 为长度单位

Me = 5.96*10^(24) # 地球质量单位 kg

h = 0.5   # 离地表高度，以KM 为长度单位

cE = 圆周(O,R) # 地球

v = 0.3 # 初速度大小

B2 = (0,R+h) # 初始位置

C2 = (v,0) # 初速度

D2 = G*Me/长度(向量(V2,O))^3*向量(V2,O) # 初始加速度

A3 = 0

B3 = P0

C3 = C2 + D2

D3 = G*Me/长度(向量(B2,O))^3*向量(B2,O)

A4 = A3 + 1

B4 = B3 + (C1+C2)/2

C4 = C3 + D3

D4 = G*Me/长度(向量(B4,O))^3*向量(B4,O)

# 将 A3:D3 的公式往下复制 10 行。

任务2 更改更新的间隔

【目的】在地球表面高 h = 320km 处水平抛射一个初速度为 v=5 km/s 的物体，在万有引力影响下每 tgap 秒更新的位置、速度、与加速度。

【说明】这段主要模拟在国际太空站的位置 h =350km 的圆周运动。其速度约为 v=7.7 km/s。为了让移动的效果比较清楚，增加个取样的时间间隔 tgap=10。这时同时要更新 A3， B3， C3 的设置，使其改为每 tgap 更新一次。

完成后，将 A3:D3 往下复制 N= 60 份（若电脑速度太慢可选较少的点）。再将 B3:B63 建一个点列 Ps, 并用一个滑动条 n ，来取得 Ps 的前 n 个点。并用折线将这些点连线。

h = 350

v = 7.7

tgap=5

A4 = A3 + tgap

B4 = B3 + tgap*(C1+C2)/2

C4 = C3 + tgap*D3

D4 = G*Me/长度(向量(B4,O))^3*向量(B4,O)

# 将 A4:D4 的公式往下复制到 63 行。

Ps = 扁平列表({B2:B63})

N = 长度(Ps)

n = 滑动条(1,N,1,1,100)

nPs = 最前元素(Ps,n) #最前元素 First

LnPs = 折线(nPs)

任务3 参数与版面调整

【目的】模拟同步卫星的运行，在地球表面高 h = 35786 km 处水平抛射一个初速度为 v=3 km/s 的物体，在万有引力影响下每 tgap=60 秒更新的位置、速度、与加速度。并加入些快速切换的按钮。

【说明】这小节在增加一组同步卫星的数据。但现在数据量较多就利用按钮来作快速切换。同时对三个参数加入输入框的关联按钮。在制作按钮同时，利用 [放大] ZoomIn 来调整视窗到合适的范围。最后同时提供在不同高度 h 时，要达到等速圆周的速度，与圆周运动的周期。

【操作】

h = 35786

v = 3.08

tagp = 60

g = 1000*G*Me/(R+h)^2

vc = (G*Me / (R+h))^0.5 #圆周运动的速度

tc = 2*pi*((R+h)^3/(G*Me))^0.5 #圆周运动的周期

限时任务

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任务：S6G5 卫星绕地的万有引力模拟

姓名：朱安强

心得：每次用 Geogebra 在模拟实际问题都还是感受到数学的实用之美通过这些规则就可还原出这些现象。当然，以前是理论上知道个大概，但现在通过 Geogebra 则是让自己亲眼见证，对这些知识的体会又有很深的不同感受。