第一章 线性方程组和矩阵

定义1.1 由m×n个数a(i , j)组成的一个m行n列的矩阵数表，称为一个m×n矩阵。

• 元素全为零的矩阵称为零矩阵。

• 两个行数相等、列数也相等的矩阵称为同型矩阵。

• 特殊方阵：

○ 对角矩阵

diag(a11,a22,...,ann)

○ 数量矩阵和单位矩阵

§ 主对角元素都相同的对角矩阵为数量矩阵。

§ 主对角线上全为1的数量矩阵为单位矩阵（记为I或E）

○ 三角矩阵

§ 上三角矩阵（U）

§ 下三角矩阵（L）

○ 对称矩阵和反对称矩阵

§ 对称矩阵

a(i , j) = a(j , i)

§ 反对称矩阵

a(i , j) = - a(j , i)

• 矩阵的初等变换

○ 增广矩阵

定义1.2 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换

○ 对调

○ 倍乘

○ 倍加

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。

矩阵的初等变换是可逆的

• 矩阵之间的等价具有下列性质

○ 反身性 A~A

○ 对称性 A~B，则B~A

○ 传递性 若A~B，B~C，则A~C

只有行初等变换才能保证方程组的同解性

定义1.3 一个m×n矩阵A称为行阶梯形矩阵是指A满足：

a. 如果有零行，则零行全部位于该矩阵的下方。

b. 把每个非零行左边第一个非零行元素称为首非零元，其左边零元素的个数随着行号的增加而增加。

首非零元为1,且这些首非零元所在的列的其他元素全为零。

这种应用矩阵的初等行变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵，然后再求线性方程组的解的方法称为高斯消元法。

定义1.4 矩阵A经过初等行变换化为行阶梯形矩阵后，其非零的行数称为矩阵A的秩，记为R(A)。

• 对于一个n元非齐次线性方程组，总有

R(A)<=R(A,b)<=R(A)+1

定理1.1  对n元非齐次线性方程组

1. 无解的充要条件R(A)<R(A,b)

2. 唯一解的充要条件R(A)=R(A,b)=n

3. 无数解的充要条件R(A)=R(A,b)<n

其中，自由未知量个数为n-R(A)

推论1.1 方程个数m小于未知量个数n，方程必有非零解，从而有无穷多解。

定义1.5 设图G=(V,E)有n个结点V={v1,v2...vn},则n阶方阵A(G)=(aij)称为图G的邻接矩阵，其中

aij=1(vi与vj邻接)

aij=0(vi与vj不邻接)