二次根式-阅读与思考(类似指数的性质)

2023-02-14 22:17 作者:大爆炸bong 0人读过 | 我要投稿

在二次根式这一章的学习当中，我们了解到了二次根式的一些运算法则

例如

$%5Csqrt%7Bxy%7D%20%3D%5Csqrt%7Bx%7D%5Csqrt%7By%7D$

$%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7B%5Csqrt%7By%7D%7D%20$

这与指数乘除运算是如出一辙的

从运算法则的证明过程不难看出

这与二次根式是平方的逆运算息息相关

这让我们猜想是否二次根式也是一种指数运算，这里使用待定系数法

先假定二次根式可以表示为指数的形式 $x%5Ea$

那么再由 $(%5Csqrt%7Bx%7D)%5E2%3Dx$ 即 $(x%5Ea)%5E2%3Dx%5E%7B2a%7D%3Dx$ 解得 $a%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$

综上所述我们就得到了二次根式的本质其实是指数为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ 的运算

同理可得所有开方运算本质上都是指数运算

现在我们就可以将所有实数的次方都有定义了

例如

$x%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%3D(x%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D)%5E%7B3%7D%3D(%5Csqrt%7Bx%7D)%5E3$

$x%5E%7B-%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D)%5E%7B8%7D%7D%20$

但是哪怕将二次根式 $%5Csqrt%7Bx%7D%20$ 转换为了指数形式 $x%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$ 但是我们仍要求 $x$ 是非负数

没有扩充到全部实数

那么在下一期我们会将 $x$ 的要求扩充到全部实数，引入新的数——复数

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