【高等数学习题】如何求f(x)=x^2*ln(1+x)的高阶导数?|莱布尼茨公式

法一：拉布尼茨法（n≥3）

法二：在x=0处展开ln（x+1）的泰勒公式

其中，题干乘了个x^2,意味着取n*=n-2时代入公式得 (-1)^(n-3)*x^(n-2)/n-2 这一项乘以额外的x^2后才能凑出 (-1)^(n-3)*x^n/n-2；

之所以要刻意凑含有x^n的项，是因为当求零点处n阶导数f^(n)(0)时，低于n次的项在求导时就已经弹尽粮绝化为零了，同时高于n的项也随着对x赋0整体归零；

这意味着唯有 (-1)^(n-3)*x^n/n-2 可以抗下n阶求导与x赋0的双重筛选；

此时，我们仅对这一部分求n阶导数即可获得答案，即：

(-1)^(n-3)*n!/n-2 （n≥3）

完毕。