A-1-1相对运动(1/2)

2023-08-28 13:42 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

1.1.1 相对运动

牵连运动

我们先来看一个例子：

如图，阴影长方形以速度v_1向右做匀速直线运动，C点相对长方形以v_2沿着AE做匀速直线运动，C点的实际轨迹如图，也是匀速直线运动。

从位移开始分析，由矢量的运算易得

$%5Coverrightarrow%7BOC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BOA%7D%2B%5Coverrightarrow%7BAC%7D$

这里其实对应2个参考系，一个是地面静止参考系，一个是长方形运动参考系。我们一般将 $%5Coverrightarrow%7BOC%7D$ 称为绝对位移， $%5Coverrightarrow%7BAC%7D$ 称为相对位移， $%5Coverrightarrow%7BOA%7D$ 称为牵连位移。即

$%5Cvec%20x_%7B%E7%BB%9D%E5%AF%B9%7D%3D%5Cvec%20x_%7B%E7%9B%B8%E5%AF%B9%7D%2B%5Cvec%20x_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D$

由于上述等式恒成立，我们可以将等式两侧同时对时间求导：

$%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20x_%7B%E7%BB%9D%E5%AF%B9%7D%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20x_%7B%E7%9B%B8%E5%AF%B9%7D%7D%7Bdt%7D%2B%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20x_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D%7D%7Bdt%7D$

即

$%5Cvec%20v_%7B%E7%BB%9D%E5%AF%B9%7D%3D%5Cvec%20v_%7B%E7%9B%B8%E5%AF%B9%7D%2B%5Cvec%20v_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D$

同理，我们可以得出三者加速度之间的关系：

$%5Cvec%20a_%7B%E7%BB%9D%E5%AF%B9%7D%3D%5Cvec%20a_%7B%E7%9B%B8%E5%AF%B9%7D%2B%5Cvec%20a_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D$

其中 $%5Cvec%20x_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D%EF%BC%8C%5Cvec%20v_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D%EF%BC%8C%5Cvec%20a_%7B%E7%89%B5%E8%BF%9E%7D$ 均由于参考系的运动导致。

同时考虑位移、速度、加速度时，则有

绝对运动=相对运动+牵连运动

需要说明的是，上面我们将等式两侧同时对时间求导，默认了不同参考系内时间变化相同，即时间间隔是绝对的，这也是伽利略的想法，以后我们学习相对论之后，会对上述等式作相应的修正。

参考系说明

平动参考系

所谓平动，指的是物体在运动时，其上任两点连线始终保持平行，此时物体上任一点轨迹都相同。在平动参考系中，\vec x_{牵连}，\vec v_{牵连}，\vec a_{牵连}分别等于参考系自身的位移，速度和加速度。

转动参考系

转动参考系中的运动，比较复杂，我们放到圆周运动部分再作介绍。

静止参考系

某人以 $2m%2Fs$ 的速度向正西方向跑时，感到风来自正北。如他将速度增加一倍，则感到风从正西北方向吹来，求风速大小。

这里人感到风的方向，指的是风相对人的速度，所以我们选地面为静止参考系，人为运动参考系，有

$%5Cvec%20v_%E9%A3%8E%3D%5Cvec%20v_%7B%E9%A3%8E%E5%AF%B9%E4%BA%BA%7D%2B%5Cvec%20v_%7B%E4%BA%BA%7D$

本题中人的速度已知，我们先画一个向西的人的速度 $%5Cvec%20v%3D%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ ，此时风相对人速度方向向南，但是大小未知，我们过B作一条垂直于 $AB$ 的垂线，则风速矢量的终点在这条垂线上。

当人的速度变为2倍，

$2%5Cvec%20v%3D%5Coverrightarrow%7BAC%7D$

此时风相对人速度方向为东南，过点 $C$ 作一条南偏东45°的直线，则风速矢量的终点也在这条直线上，由于前后过程风速不变，风速矢量的终点为一固定点，则两条直线的交点即为风速矢量的终点。 $v_%E9%A3%8E%3D%5Coverrightarrow%7BAD%7D$ ，由几何关系得

$v_%E9%A3%8E%3D%5Csqrt%7B2%7Dv%3D2%5Csqrt%7B2%7Dm%2Fs$

这道题中蕴含了算两次的想法，这是我们后面经常使用的方法，核心是将一个矢量用两种方式表示，相当于联立了一个”矢量的方程“求解。

这道题中蕴含的另一个想法是，我们在画矢量图时，如果只知道一个矢量的方向，不知道其大小，在确定矢量的起点之后，我们可以用一条射线来表示矢量终点的所有可能位置，为后续的分析做准备。

同样的，如果我们只知道一个矢量的大小，不知道其方向，可以用一个圆来表示矢量终点的所有可能位置。

小河的两岸平行，相距 $d$ .河水速度为 $v_1$ ，小船在静水中航行速度为 $v_2$ ，小船从岸边向河对岸划去，求以最短航程过河时，对应的时间。

最短航程，是相对地面参考系而言。

$%5Cvec%20v_%E8%88%B9%3D%5Cvec%20v_%7B%E8%88%B9%E5%AF%B9%E6%B0%B4%7D%2B%5Cvec%20v_%E6%B0%B4$

这里

$%5Cvec%20v_%E6%B0%B4%3D%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Cvec%20v_1$

$%5Cvec%20v_%7B%E8%88%B9%E5%AF%B9%E6%B0%B4%7D$ 的大小已知，方向未知，可以画一个以 $B$ 为圆心，半径为 $v_2$ 的圆， $C$ 点在圆上。此时画出的矢量图有两种情况：

1.当 $v_2$ 大于 $v_1$ 时， $A$ 点在圆的内部，航程最短为 $d$ ，此时实际速度垂直河岸

$v%3D%5Csqrt%7Bv%5E2_2-v%5E2_1%7D$

过河时间

$t%3D%5Cdfrac%7Bd%7D%7B%5Csqrt%7Bv%5E2_2-v%5E2_1%7D%7D$

2.当 $v_2$ 小于 $v_1$ 时， $A$ 点在圆的外部，航程最短时，对应 $%5Cangle%20BAC$ 最大，此时实际速度刚好与圆相切， $v%3D%5Csqrt%7Bv%5E2_1-v%5E2_2%7D$ ，由几何关系，总航程 $x%3D%5Cdfrac%7Bv_1%7D%7Bv_2%7Dd$ ，过河时间

$t%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bv%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_1d%7D%7Bv_2%5Csqrt%7Bv%5E2_1-v%5E2_2%7D%7D$

运动参考系

以上两个问题，我们研究的都是静止参考系中的运动，有的问题我们可以在运动参考系中研究。

在宽度为 $d$ 的街上，有一连串汽车以速度 $u$ 鱼贯驶过，已知汽车的宽度为 $b$ ，两车间的距离为 $a$ ，如图所示。一行人想用尽可能小的速度 $v$ 沿一直线穿过此街，试求此人过街所需的时间。

这里人和车都在运动，不好分析。由于人可以看成质点，车不能看成质点，我们可以选取汽车为参考系，此时

$%5Cvec%20v_%7B%E4%BA%BA%E5%AF%B9%E8%BD%A6%7D%3D%5Cvec%20v_%7B%E4%BA%BA%7D-%5Cvec%20v_%7B%E8%BD%A6%7D%3D%5Cvec%20v_%7B%E4%BA%BA%7D%2B(-%5Cvec%20v_%7B%E8%BD%A6%7D)%3D-%5Cvec%20u%2B%5Cvec%20v$

与上题类似，画矢量图如下：

要使得人能够过街，则人相对车的速度与街道的夹角 $%5Cbeta$ 必须大于 $%5Calpha$ ，临界情况对应 $%5Calpha%3D%5Cbeta$ ，此时要使得速度最小，则 $v$ 矢量刚好与虚线垂直。此时人相对车的速度大小为 $u%5Ccos%5Cbeta$ ，由几何关系，过街过程中人相对车的总位移为 $%5Cdfrac%7Bd%7D%7B%5Csin%5Cbeta%7D$ ，故人过街的时间