网上有家长提问：

两辆车分别从甲乙两地同时出发相向而行，快车行80km后和慢车在途中丙地相遇，相遇后慢车立即掉头与快车继续向乙地行驶，当快车到达乙地时，两车最远可能相距几千米？

他说：

“⑨老师麻烦看下这道行程问题，我知道可以用比例做但是必须要用字母来表示才行啊，那如果我用方程的话，比如设慢车走了x千米，方程中好像会出现x的平方？如果方程没错的话，难道是要解二次方程吗？”

【思路】

1. 这是一道正比例模型的行程问题；

2. 我们需要用到多个字母来表达正比例关系（比例方程）；

3. 通过比例关系得到目标的二次函数表达式；

4. 联动最值原理“和定差小积大”可得到表达式的最值.

【步骤】

【详解】

1. 行程问题一定要画行程图，画一条直线段，一端是甲地，另一端是乙地，中间靠右是丙地[1]；

2. 快车以v1的速度从甲出发，慢车以v2的速度从乙出发，两车经历了共同的时间t1后相遇于丙地，那么甲地到丙地的距离与丙地到乙地的距离之比就是v1×t1∶v2×t1=v1∶v2；[2]

3. 接下来考虑行程图丙乙段内部，相遇后两车同时同地从丙地出发向乙地行驶，快车车速仍是v1，慢车车速仍是v2，设快车经历了t2的时间从丙地到乙地，那么在相同的t2时间里，快车走的距离与慢车走的距离之比就是v1×t2∶v2×t2=v1∶v2；[3]

4. 第2条中“甲丙”比“丙乙”等于v1∶v2，第3条中“丙乙”比“相遇后慢车路程”[4]也等于v1∶v2，于是联立成比例[5]——甲丙∶丙乙＝丙乙∶相遇后慢车路程；

5. 已知“甲丙”是80km，另设“丙乙”为x km，比例可重写为——
   80∶x＝x∶相遇后慢车路程；

6. 将比例写成分数形式[6]——
   80/x=x/相遇后慢车路程；

7. 接着等式两边取倒数[7]——
   x/80=相遇后慢车路程/x；

8. 然后等式两边扩x倍[8]——
   (x/80)×(x)=(相遇后慢车路程/x)×(x)
   x²/80=相遇后慢车路程；

9. 观察行程图丙乙段，快车到达乙地时，两车之间的距离是“丙乙”减去“相遇后慢车路程”，即——
   x－x²/80；

10. 两车相距：
    x－x²/80
    ＝80x/80－x²/80
    ＝(80x-x²)/80
    ＝x(80-x)/80；

11. 相遇后当快车到达乙地，慢车与快车的距离是一个关于x的二次表达式“x－x²/80”，将它因式分解为“x(80-x)/80”，然后注意到分子“x”部分与“80-x”部分，这两部分若是相加会得到固定的和[9]；

12. 根据最值原理“和定差小积大”——
    ①当“x”与“80-x”的差距越来越小时，它们的乘积越来越大；
    ②当“x”等于“80-x”即x=80-x也就是x=40时，它们的乘积最大；
    ③当“x”与“80-x”的乘积最大时，表达式“x(80-x)/80”也达到最大；
    ④当表达式“x(80-x)/80”达到最大时，相遇后两车距离“x－x²/80”也达到最大；

13. 将“x=40”代入相遇后两车距离表达式“x－x²/80”最终可得——
    x－x²/80
    ＝x(80-x)/80
    ＝40×40/80
    ＝20 （千米）

答：两车最远可能相距20千米.

【总结】

1. 这是一道正比例模型的行程问题，记得画行程图来梳理比例关系；

2. 我们需要用到多个字母来表达正比例关系，但不要怕字母多，充分运用比例可以约掉大部分字母；

3. 最终我们得到的并非方程而是一个目标函数[10]；

4. 目标函数含有x的二次项，并非线性[11]；

5. 尝试将目标函数“x－x²/80”合并为一项“(80x-x²)/80”再因式分解成“x(80-x)/80”；

6. 既然是求最值，联想到最值原理“和定差小积大”；

7. 代入最值条件“x=40”，最终求出两车最远距离.

【参考】

1. ^因为从出发到相遇的相同时间内快车比慢车走的路程多，所以相遇地点丙地应该在中点偏右，但在实际画图时丙地又应该尽量靠中点，这样才能方便在丙乙段内部画出第二阶段的细节.

2. ^这是一个经典的正比例相遇模型：快车走了v1×t1千米，慢车走了v2×t1千米，两车运动的时间相等，根据比的性质（比的前项与后项同时除以相同的非零数比值不变），约去相同的时间t1，快、慢车的路程之比即速度之比.

3. ^这同样是一个正比例模型：快车走了v1×t2千米，慢车走了v2×t2千米，两车运动的时间相等，根据比的性质（比的前项与后项同时除以相同的非零数比值不变），约去相同的时间t2，快、慢车的路程之比即速度之比.

4. ^相遇后慢车路程也就是慢车折返距离，也就是相遇后慢车掉头从丙地出发开往乙地，当快车到乙地时慢车已经走过的路程.

5. ^比值相等的两个比可以写成比例，例如，1:2的比值是1/2，2:4的比值是1/2，于是1:2=2:4.

6. ^比“a∶b”等于除法“a÷b”也等于分数“a/b”.

7. ^若分子分母不为0的两个分数相等，则它们的倒数仍然相等，例如1/2=2/4→2/1=4/2=2.

8. ^等式的性质：等式两边同时乘一个数仍然保持相等.

9. ^x+(80-x)=80.

10. ^我们的目标是求两车相距几千米，而题目条件不足以得到关于这个距离的方程（含有x的等式），只能得到两车距离的表达式“x-x²/80”，我们把这个含有x的表达式叫做目标函数.

11. ^也就是不能简单认为x越大，目标函数越大.