线性代数期末不挂科|考研零基础入门4小时完整版（王志超）
《笔记<完结>》
引言
01~
以下等价：
|A| = 0
A 不可逆
r(A) < n
Ax = 0 有非零解
A 的列向量组相关
0 是 A 的特征值
行列式、矩阵、向量
02~
【行列式技巧】对角线、对角线上一行、右下角非零，其余都是零，按第一列展开
03~
零矩阵：O
单位阵：E
对角阵：Λ
04~
行列式某行提公因数，而矩阵数乘全体都乘
矩阵初等变换用箭头连接
矩阵初等变换行列均可，但后续计算都用行变换
【区别】左乘和右乘
05~
【注意】转置才有加法
12.22补充：关于A*
※自行补充：不可逆的矩阵方程分块解法
06~
逆矩阵
对角阵的逆 = 对角线元素分别取倒
对角阵^n = 对角线元素分别^n
分块后是上三角的矩阵的逆 = 对角线上的每块取逆
分块后是山寨上三角的矩阵的逆 = 次对角线上的每块取逆，顺序相反
12月21日补充：用增广矩阵求逆不一定最简便
※自行补充：初等矩阵
※自行补充：伴随矩阵
08~
相关名词
线性表示：是否有至少一个向量跟其他n-1个向量在同一n-1维空间之中
求表示系数可转化求为Ax=b的解
线性相关：n个向量降维到n-1维甚至更低维度
线性无关：n个向量存在于n维空间中
判断相关性可转化为求Ax=0是否仅有零解
了解了以上，则以下结论容易理解：
1° 部分相关，整体相关（逆否：整体无关，部分无关）
（理解：向量组的一部分降维了，整体肯定达不到n维）
2° 向量组线性无关，再加一个向量，就线性相关了，推出新加向量可由其余向量表示
（理解：无关变为相关，肯定是由新加向量造成的，它和其余向量同在n维）
3° m(> n)个n维向量线性相关
09~
【定义】向量组的秩：极大无关组的向量个数
【定义】矩阵的秩：非零子式的最高阶数
【理解】向量组的秩为n意思是组内所有向量存在于n维空间内
【定理】矩阵行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩
【证明】|A| = 0 <=> A的列向量组相关
r(a)=r
=> A的非零子式的最高阶数是r，且全部r+1阶子式值为零
=> 存在r个向量，构成的向量组无关，且任意一个由r+1个向量构成的向量组都相关（就是极大无关组的定义）
=> A的列向量组的秩=r
由于行列式转置值不变，|A|=0也可描述为A的行向量组相关，所以A的行秩等于列秩。
12.21补充：
例题1：求矩阵A的秩和一个最高阶非零子式
例题2：求几个向量的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组表示
以上两个例题做法相同
解线性方程组
10~方程组解的情况
齐次：A(m行n列)x=0
有非零解
<=> A的列向量组相关（08~中有讲，不全为零的组合系数看作x，列向量组看作A，x有非零解时，就是相关的）
<=> r(a)<n (09~)
<=> |A|=0 (09~)
m=n时，推荐用行列式做
非齐次：
|A| != 0 有唯一解
|A| = 0 无解或有无穷多解
行列式是否为零与解的情况不是一一对应的，此时就要用增广矩阵做
相似矩阵与二次型
11~方阵的特征值/向量
Ax = λx
|A-λE| = 0 ~求特征值λ （行的性质、列的性质都可用，弄出更多的0，最后按某行/列展开）
12月21日补充：如下图
(A-λE)x = 0 ~求特征向量x
对角阵、上下三角矩阵的特征值就是主对角线上的元素
【注意】特征向量最后写上：k1k2...不全为零
【性质】全部特征值相加等于矩阵的迹
【性质】全部特征值相乘等于矩阵的行列式
【性质】A的特征值为λ，则f(A)的特征值是f(λ)
【例题】A的特征值为1，2，-2，则|A*+2A-E|=_______.
【分析】
给A的特征值，可算|A|=-4
求|A*+2A-E|，则要算A*+2A-E的特征值，然后相乘即可
12~
相似
【定义】AB相似：存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B
【定理】AB相似，则特征值相同 反推则不行。
例子：一个对角阵、一个上三角，主对角线元素相同，则特征值相同，但并不相似。
扩：只与自己相似的矩阵是数量矩阵（数量矩阵：主对角线元素都相等，其余为0）
【证明】|B-λE|
= |P^(-1)AP - P^(-1)λP|
= |P^(-1)||A-λE||P|
= |A-λE|
相似对角化（矩阵可对角化）
【目的】找可逆阵P，对角阵Λ，使P逆AP=Λ
【分析1】Λ的主对角线元素是A的特征值，因为A和Λ相似
【分析2】P由A的特征向量组成，因为：
AP = PΛ => A(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)diag(λ1,λ2,λ3)
相似标准型：
A的形似标准型，就是Λ
题型：矩阵可对角化的充要条件
例题：
分析：
第一问求出特征值，那么判断能否对角化，可以看特征值的几何重数
步骤：求特征值，对于重根求特征向量，如果个数小于重数，不可对角化。
题型：证明矩阵A与对角阵Λ相似
分析：证明A特征值等于Λ主对角线元素
例题：
分析：
证明A的特征值是1，-1，0
A的迹为0，所以A的特征值中至少有一个是0
特征值：Ax = λx
Aa = b，Ab = a
A(a+b)=a+b => λ=1
A(a-b)=b-a => λ=-1
又是一些相关名词：
正交
【含义】垂直、点乘得0
正交阵
【定义】Q逆=Q转置
【特点】列向量(或行向量)是单位向量且两两正交
【正交化方法】施密特正交化然后单位化
别忘单位化~
实对称阵的相似对角化（区别于于相似对角化）
【目的】找正交阵Q，对角阵Λ，使Q转置AQ=Λ
【引理】对称阵对应不同特征值的特征向量两两正交
【分析】Λ的主对角线元素就是A的特征值，Q就是A的特征向量组成的，但要正交化（只正交化同一特征值对应的特征向量就可）（由引理，对应同一特征值的特征向量单位化后不会破坏对应不同特征值的特征向量的原有正交关系）
例题1：已知A，求可逆矩阵Q和对角阵Λ，使得Q转置AQ=Λ
用正交化、单位化吗吗？
用，因为只有正交矩阵，Q逆才等于Q转置
例题2：已知A，求可逆矩阵Q和对角阵Λ，使得Q逆AQ=Λ
用正交化、单位化吗？不用
二次型
13-14~
二次型【定义】n元二次函数
二次型的矩阵【定义】平方项系数填入对角线，混合项系数的一半填入相应位置
标准型【定义】只有平方项
规范型【定义】平方项系数只能是1，-1，0
二次型化为标准型【步骤】
1.写二次型矩阵
2.进行“实对称矩阵对角化”得到正交阵Q和对角阵
3.根据对角阵写出二次函数
辨析“等价、相似、合同、正交相似”
1. 等价可以不是方阵，后三个必须是方阵
2. 定义
【等价】 经过初等变换的矩阵与原矩阵【等价】（AB等价 即 PAQ=B）
【相似】 P逆AP=B
【合同】 P转置AP=B
【正交相似】P逆AP=P转置AP=B （P是正交阵）
3.相似于合同本身没什么关系，当P为正交阵时，相似与合同一致。
2022 - 12- 22 END~
