【每日一题】2023浙江学考数学压轴，正三棱台的内切球

这题讲的啰嗦了，我仔细想了想，其实三棱台的内切球，就是原三棱锥的内切球。这里我说的原三棱锥就是指三棱台补全之后的三棱锥。

三棱台的内切球与三棱台的三个侧面和上下底面均相切，那么就与原三棱锥的三个侧面和底面相切，所以三棱台的内切球就是原三棱锥的内切球。

而一个三棱台之所以能有内切球，是因为这个三棱台本身就是由三棱锥切一刀切出来的，而这个切面，就是与三棱锥一个面平行的内切球的切面。（这一段话里的两个“切面”是两个意思，你能get到吗）

所以这个题真没必要算什么三角函数边边角角的，直接宏观观察正四面体即可：

根据侧棱与底面ABC的余弦值是三分之根三，可以得到原三棱锥是一个正四面体，所以这个内切球就是正四面体的内切球，而正四面体的内切球心在高上，而且把高分成了3:1的两部分，其中四分之一的部分就是内切球半径，那么直径就占两个四分之一，也就是高的一半，所以三棱台的高就是正四面体高的一半，接下来的计算就可以直接用视频最后的计算了：

那么我把正四面体的相关计算里，也加上了三棱台内切的图：