关于线性无关解、基础解系和系数矩阵之间数量关系的思考

    今天复习线性方程组，看到了线性无关解和基础解系，做了几个题仔细思考了一下这些量之间的关系，感觉有了一点想法，趁回家之前赶紧记录下来，省的之后忘了。以下的内容都是我个人的见解，如果有错误恳请指正。

    首先，讨论的都是齐次方程、系数矩阵不满秩的情况，满秩的齐次方程就只有一个零解，就谈不上什么解系了。

    好了确定完讨论对象之后，先来看解空间，我认为解空间这个名字起的很好，从名字就可以看出是由若干个互不相关的解向量所组成的若干维空间，该空间的维数就是基础解系中向量的数量。而每个互不相关的解向量就是其中的一维，“互不相关”=“线性无关”、“解向量”=“解”，所以线性无关解的总个数相同。

    简单的两个数量关系讨论完了，现在来看为什么n-R(A)=线性无关解的个数。抛开线性代数，我们都知道n个独立方程确定n个未知数。那么对于只有R(A)个独立方程，却又n个未知数时，只能确定R(A)个关系，既这R(A)个未知数可以由剩下的n-R(A)个未知数表示。所以剩下的n-R(A)个未知数是“自由”的，可以取任意值，即可以组成n-R(A)个线性无关解向量。所以n-R(A)=线性无关解的个数。

    有一个很简单的方法找基础解系，把系数矩阵变成{{E1, B}{0, 0}}的形式，然后解矩阵就是(B^T, E2)^T或者写成是{{B}{E2}}（E1，E2不同）