小波变换[3] -- Daubechies 小波

2022-01-04 17:33 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

在上一篇专栏里介绍了多分辨率框架, 以及尺度关系式 $%5CPhi(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%5CPhi(2x-k)$ , 再从尺度关系式里推导出小波函数 $%5Cphi(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ek%5Coverline%7Bp_%7B1-k%7D%7D%5CPhi(2x-k)$ 和相应的分解重构步骤. 但是还不知道尺度函数如何求得. 既然是信号分析, 为什么不从频域寻求线索呢?

记函数 f(x) 的傅里叶变换为 F[f(x)](ν), 其中 F 是傅里叶变换, 或者可以简写为 F[f]. 关于傅里叶变换可以看我在十万年前的专栏集: 专栏集. 需要注意到的是, 因为傅里叶变换的伴随算子是傅里叶逆变换, 所以有等式: $%5Clangle%20f%2Cg%5Crangle%3D%5Clangle%20f%2C%5Cmathcal%20F%5E%7B-1%7D%5Cmathcal%20F%5Bg%5D%5Crangle%3D%5Clangle%5Cmathcal%7BF%7D%5Bf%5D%2C%5Cmathcal%7BF%7D%5Bg%5D%5Crangle$ . 此处定义傅里叶变换为 $%5Cmathcal%7BF%7D%5Bf(x)%5D(%5Cnu)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B%5Cmathbb%20R%7Df(x)e%5E%7B-ix%5Cnu%7Ddx$ . 那么有平移性: $%5Cmathcal%20F%5Bf(x-a)%5D(%5Cnu)%3De%5E%7B-ia%5Cnu%7D%5Cmathcal%20F%5Bf%5D(%5Cnu)$ 和比例性: $%5Cmathcal%20F%5Bf(ax)%5D(%5Cnu)%3Da%5E%7B-1%7D%5Cmathcal%20F%5Bf%5D(a%5E%7B-1%7D%5Cnu)$ . 当没有歧义时 [\hat 的歧义实在有点多, 傅里叶变换, 矩阵, 算符等], 可以使用 $%5Cwidehat%7Bf(x)%7D(%5Cnu)$ 表示 f 的傅里叶变换, 或简写为 $%5Chat%20f$ .

尺度函数 Φ 的标准正交性由 $%5Cint_%5Cmathbb%20R%5CPhi(x)%5Coverline%7B%5CPhi(x-k)%7Ddx%3D%5Cdelta_%7B0%2Ck%7D%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z$ 给出, 亦即 $%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cwidehat%5CPhi(%5Cnu)%5Coverline%7B%5Cwidehat%7B%5CPhi(x-k)%7D(%5Cnu)%7Dd%5Cnu%3D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cleft%7C%5Cwidehat%5CPhi(%5Cnu)%5Cright%7C%20%5E2e%5E%7Bik%5Cnu%7Dd%5Cnu%3D%5Cdelta_%7B0%2Ck%7D$ . 把积分区域分割为 [2πj, 2π(j+1)]; j∈Z: $%5Csum_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Cint_%7B2%5Cpi%20j%7D%5E%7B2%5Cpi(j%2B1)%7D%5Cleft%7C%5Cwidehat%5CPhi(%5Cnu)%5Cright%7C%5E2e%5E%7Bik%5Cnu%7Dd%5Cnu$ , 使用 2πj + ν 取代 ν, 然后交换累加和积分的顺序得 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Csum_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Cleft%7C%5Cwidehat%5CPhi(2%5Cpi%20j%2B%5Cnu)%5Cright%7C%5E2e%5E%7Bik%5Cnu%7Dd%5Cnu%3D%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5Cmathcal%20F%5E%7B-1%7D%5Cleft%5B%5Csum_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%5CPhi(2%5Cpi%20j%2B%5Cnu)%7C%5E2%5Cright%5D(k)%3D%5Cdelta_%7B0%2Ck%7D%3D%5Cdelta(k)$ , 于是得 $%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5Csum_%7Bj%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%5CPhi(2%5Cpi%20j%2B%5Cnu)%7C%5E2%3D%5Cmathcal%20F%5B%5Cdelta%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D$ . 于是得到 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%5CPhi(%5Cnu%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D$ . 类似地, 可以得到 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%5Cwidehat%5CPhi(%5Cnu%2B2%5Cpi%20k)%5Coverline%7B%5Cwidehat%5Cphi(%5Cnu%2B2%5Cpi%20k)%7D%3D0$ . 特别地, 如果把 Haar 尺度函数 $%5CPhi(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%3B%5C%3Bx%5Cin%5B0%2C1%5D%5C%5C0%3B%5C%3B%5Cmathrm%7Belse%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ 代入上面得到的关系式, 可以得到一个著名的恒等式: $%5Ccsc%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%20%5Cmathbb%20Z%7D%5Cfrac%7B4%7D%7B(%5Cnu%2B2%5Cpi%20k)%5E2%7D$ .

对尺度关系式施加傅里叶变换可以得到 $%5Cwidehat%5CPhi(%5Cnu)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%5Cwidehat%7B%5CPhi(2x-k)%7D(%5Cnu)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7De%5E%7B-i%5Cnu%20k%2F2%7D%5Cwidehat%5CPhi(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)$ , 记 $P(%5Cnu)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_ke%5E%7B-ik%5Cnu%7D$ , 即得到频域形式的尺度关系式: $%5Cwidehat%5CPhi(%5Cnu)%3DP(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)%5Cwidehat%5CPhi(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)$ . 由多分辨率框架的尺度对称性得 $%5Cwidehat%5CPhi(2%5E%7B-j%7D%5Cnu)%3DP(2%5E%7B-(j%2B1)%7Di%5Cnu)%5Cwidehat%5CPhi(2%5E%7B-(j%2B1)%7D%5Cnu)$ , 并且有 $%5Clim_%7Bj%5Crightarrow%2B%5Cinfty%7D%5Cwidehat%5CPhi(2%5E%7B-j%7D%5Cnu)%3D%5Cwidehat%5CPhi(0)%3D%5Cfrac%7Bm%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D$ , 其中 $m%3D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5CPhi(x)dx$ , 于是得到 $%5Cwidehat%5CPhi(%5Cnu)%3D%5Cfrac%7Bm%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cprod_%7Bj%3D1%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7DP(2%5E%7B-j%7Di%5Cnu)$ . 类似地, 对小波函数的构造式进行傅里叶变换可以得到, 记 $Q(%5Cnu)%3De%5E%7B-i(%5Cnu%2B%5Cpi)%7D%5Coverline%7BP(%5Cnu%2B%5Cpi)%7D$ , 则 $%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%3DQ(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)%5Cwidehat%20%5CPhi(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)$ . 可以看到尺度函数和小波函数在频域上都依赖 P(ν) 生成, 并且由 exp 的性质不难知道, P 和 Q 都是周期为 2π 的函数.

对 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%20%5CPhi(%5Cnu%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D$ 分离为偶数奇数部得 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%20%5CPhi(%5Cnu%2B4%5Cpi%20k)%7C%5E2%2B%7C%5Cwidehat%20%5CPhi(%5Cnu%2B2%5Cpi%2B4%5Cpi%20k)%7C%5E2$ , 再应用频域关系的尺度关系式得 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7CP(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2%7C%5Cwidehat%20%5CPhi(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2%2B%7CP(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Cpi%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2%7C%5Cwidehat%20%5CPhi%20(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Cpi%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2$ , 因为 P 是周期为 2π 的函数, 即 $%7CP(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)%7C%5E2%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%20%5CPhi(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2%2B%7CP(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Cpi)%7C%5E2%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%20%5CPhi(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Cpi%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2$ , 因为两个累加部分都等于 1/2π, 于是得到关系 $%7CP(%5Cnu)%7C%5E2%2B%7CP(%5Cnu%2B%5Cpi)%7C%5E2%3D1$ .

上述步骤是由 $%5Cint_%5Cmathbb%20R%5CPhi(x)%5CPhi(x-k)dx%3D%5Cdelta_%7B0%2Ck%7D$ 得出 $%7CP(%5Cnu)%7C%5E2%2B%7CP(v%2B%5Cpi)%7C%5E2%3D1$ , 类似地, 可以使用关系 $%5Cint_%5Cmathbb%20R%5CPhi(x)%5Cphi(x-k)dx%3D0$ 得出 $P(%5Cnu)%5Coverline%7BQ(%5Cnu)%7D%2BP(%5Cnu%2B%5Cpi)%5Coverline%7BQ(%5Cnu%2B%5Cpi)%7D%3D0$ .

构造尺度函数

铺垫了差不多 1.5 篇专栏, 现在终于可以开始从尺度系数 $%5C%7Bp_k%3B%5C%3Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%5C%7D$ 构造相应的尺度函数了.

当存在已知符合多分辨率框架的标准正交函数 Φ₀, 那么函数 $%5CPhi_1(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%5CPhi_0(2x-k)$ 也符合多分辨率框架. 这是容易证得的: 上面的式子在频域里即为 $%5Cwidehat%7B%5CPhi_1%7D(%5Cnu)%3DP(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)%5Cwidehat%7B%5CPhi_0%7D(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)$ , 其中 P 即为 $P(%5Cnu)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_ke%5E%7B-ik%5Cnu%7D$ , 即式子 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%7B%5CPhi_1%7D(%5Cnu%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7CP(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Cpi%20k)%7C%5E2%7C%5Cwidehat%7B%5CPhi_0%7D(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Cpi%20k)%7C%5E2$ 成立, 上式右边部分分离为偶数和奇数部分, 然后由 P 的周期性整理得: $%7CP(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)%7C%5E2%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%7B%5CPhi_0%7D(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2%2B%7CP(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Cpi)%7C%5E2%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%7B%5CPhi_0%7D(%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Cpi%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2$ , 由 Φ₀ 的标准正交性知道其中两个累加部分都等于 1/2π, 假设 P 满足 |P(ν)|²+|P(ν+π)|²=1, 即可以得出 $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D%7C%5Cwidehat%7B%5CPhi_1%7D(%5Cnu%2B2%5Cpi%20k)%7C%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D$ , 也就说 Φ₁ 也满足多分辨率框架里的标准正交性.

重复过程 $%5CPhi_%7Bn%2B1%7D(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%5CPhi_n(2x-k)$ , 即从尺度系数 {pₖ} 得到尺度函数 $%5CPhi%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%2B%5Cinfty%7D%5CPhi_n$ . 可以证得这个函数序列是逐点收敛的, 而在频域上是一致收敛的, 并且函数序列里所有函数都属于 L²(R), 收敛性证明在下面给出, 而有界性因为使用了测度论里的定理, 这里就不给出了. 值得注意的时, 证明有界性时附加了一个条件 $%7CP(%5Cnu)%7C%5Cneq0%3B%5C%3B%7C%5Cnu%7C%5Cleq0.5%5Cpi$ .

Daubechies 小波

综上所述, 当已知有符合多分辨率的尺度函数 Φ₀ 和 $P(%5Cnu)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_ke%5E%7B-ik%5Cnu%7D$ , 当满足 P(0)=1, |P(ν)|²+|P(ν+π)|²=1 和 |P(ν)|≠0; |ν|≤π/2 时, 可由 $%5CPhi_%7Bn%2B1%7D(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%5CPhi_%7Bn%7D(2x-k)$ 产生符合多分辨率框架的尺度函数. 于是 Daubechies 提出以下构造尺度系数 {pₖ} 的方法.

由恒等式 cos²(x)+sin²(x)=1 知道有等式 $%5Cleft(%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%5Cright)%5En%3D1$ , 以 n=3 为例:

即 $%5Ccos%5E6%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B3%5Ccos%5E4%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B3%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%5Csin%5E4%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Csin%5E6%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%3D1$ , 由 sin 和 cos 的关系 $%5Ccos(x)%3D%5Csin(x%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)%3B%5C%3B%5Csin(x)%3D-%5Ccos(x%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)$ , 那么上面的式子可以重写为 $%5Ccos%5E6%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B3%5Ccos%5E4%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B3%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%2B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Ccos%5E4%5Cfrac%7B%5Cnu%2B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B%5Ccos%5E6%5Cfrac%7B%5Cnu%2B%5Cpi%7D%7B2%7D%3D1$ . 取 $%7CP(%5Cnu)%7C%5E2%3D%5Ccos%5E6%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B3%5Ccos%5E4%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D$ , 那么上式即为 $%7CP(%5Cnu)%7C%5E2%2B%7CP(%5Cnu%2B%5Cpi)%7C%5E2%3D1$ . 并且不难证得 $%7CP(%5Cnu)%7C%5E2%3E0%3B%5C%3B%7C%5Cnu%7C%5Cleq0.5%5Cpi$ 和 $P(0)%3D1$ . 为了确定 P 的表达式, 重写 |P(ν)|² 的定义为 $%7CP(%5Cnu)%7C%5E2%3D%5Ccos%5E4%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt3i%5Csin%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%5Cright%7C%5E2$ , 两边开方, 需要注意 |·| 是取复数的模, 亦即消去了辐角, 于是得到 $P(%5Cnu)%3D%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt3i%5Csin%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%5Cright)%5Calpha(%5Cnu)%3B%5C%3B%7C%5Calpha(%5Cnu)%7C%3D1$ . 由欧拉公式可以有 $%5Ccos%20x%3D0.5(e%5E%7B-ix%7D%2Be%5E%7Bix%7D)$ 和 $%5Csin%20x%3D0.5i(e%5E%7B-ix%7D-e%5E%7Bix%7D)$ , 并且选择 $%5Calpha(%5Cnu)%3De%5E%7B-1.5i%5Cnu%7D$ , 代入上式可以得到 P 的表达式 $P(%5Cnu)%3D0.125((1%2B%5Csqrt3)%2B(3%2B%5Csqrt3)e%5E%7B-i%5Cnu%7D%2B(3-%5Csqrt3)e%5E%7B-2i%5Cnu%7D%2B(1-%5Csqrt3)e%5E%7B-3i%5Cnu%7D)$ , 于是得到系数 $p_0%3D0.25(1%2B%5Csqrt3)$ , $p_1%3D0.25(3%2B%5Csqrt3)$ , $p_2%3D0.25(3-%5Csqrt%203)$ 和 $p_3%3D0.25(1-%5Csqrt3)$ .

下图是使用 Haar 作为 Φ₀ 和上面求得的系数进行迭代产生的图像

可以看到尺度函数逐渐收敛于一个特定的形状, 实际上收敛得到的尺度函数为

由 $%5Cphi(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ek%5Coverline%7Bp_%7B1-k%7D%7D%5CPhi(2x-k)$ 给出相应的小波函数:

Daubechies 指出, 在 $(%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D%2B%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Cnu%7D%7B2%7D)%5En%3D1$ 里取 n = 2N-1, 其中 N 是正整数, 都可以产生 2N 个尺度系数 $p_0%2C%5C%2C%5Ccdots%2C%5C%2Cp_%7B2N-1%7D$ , 并且产生的尺度函数的支撑集为 (0, 2N-1), 小波函数支撑集为 (1-N, N), 并称为 N 阶 Daubechies 小波 [以下简称 D-小波]. 特别地, 一阶 D-小波为 Haar 小波, 而上图为 2 阶.

数学上把 $%5Cint_%5Cmathbb%20Rx%5Ek%5Crho(x)dx$ 称为分布 ρ 的 k 阶矩, N 阶 D-小波的 0 至 N-1 阶矩都为 0 [证明在下面], 所以称 N 阶 D-小波拥有 N 阶的消失矩, 消失矩是小波变换应用的一个关键参数, 比如说, 把信号从函数空间 Vⱼ 到 Vⱼ₋₁ 时会分离出高频分量 b, 准确为 $b%5E%7B(j)%7D_k%3D2%5E%7Bj%7D%5Cint_%5Cmathbb%20Rf(x)%5Cphi_N(2%5Ejx-k)dx$ , 使用 x+2⁻ʲk 替换 x, 得 $b%5E%7B(j)%7D_k%3D2%5E%7Bj%7D%5Cint_%5Cmathbb%20Rf(x%2B2%5E%7B-j%7Dk)%5Cphi_N(2%5Ejx)dx$ , 将 f 在 x=2⁻ʲk 处进行泰勒展开得 $f(x%2B2%5E%7B-j%7Dk)%5Capprox%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7BN%7D%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn!%7D%5Cfrac%7Bd%5Enf%7D%7Bdx%5En%7D(2%5E%7B-j%7Dk)$ , 于是近似为 $b%5E%7B(j)%7D_k%5Capprox2%5E%7Bj%7D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5EN%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn!%7D%5Cfrac%7Bd%5Enf%7D%7Bdx%5En%7D(2%5E%7B-j%7Dk)%5Cphi_N(2%5Ejx)dx$ , 整理得 $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5EN%5Cfrac%7B2%5E%7B-jn%7D%7D%7Bn!%7D%5Cfrac%7Bd%5Enf%7D%7Bdx%5En%7D(2%5E%7B-j%7Dk)%5Cint_%5Cmathbb%20Rx%5En%5Cphi_N(x)dx$ , 因为 N 阶 D-小波拥有 N 阶消失矩, 所以得出 $%5Cfrac%7B2%5E%7B-jN%7D%7D%7BN!%7D%5Cfrac%7Bd%5ENf%7D%7Bdx%5EN%7D(2%5E%7B-j%7Dk)%5Cint_%5Cmathbb%20Rx%5EN%5Cphi_N(x)dx$ , 又因为 $%5Cint_%5Cmathbb%20Rx%5EN%5Cphi_N(x)dx%3D-%5Cfrac%7BN!%5Cwidetilde%7B%5Crho_N%7D(-1)%7D%7B2%5E%7BN%7D%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D$ [见下], 于是最后得出: $b%5E%7B(j)%7D_k%5Capprox-%5Cfrac%7B%5Cwidetilde%7B%5Crho_N%7D(-1)%7D%7B2%5E%7BN(j%2B1)%7D%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cfrac%7Bd%5ENf%7D%7Bdx%5EN%7D(2%5E%7B-j%7Dk)$ . 由这个特性可以把小波应用在很多地方上, 比如说二阶 D-小波可以用作奇异性检测.