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别被导函数的样子吓住（2023全国乙，16）

2023-06-09 20:01 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2023全国乙，16）设 $a%5Cin%20%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20$ ，若函数 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Da%5Ex%2B%5Cleft(%201%2Ba%20%5Cright)%20%5Ex$ 在 $%5Cleft(%200%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是________.

解： $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)$ 在 $%5Cleft(%200%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20$ 上单调递增，

等价于 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant0%7D$ 在 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ 上恒成立.

求导，得

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Da%5Ex%5Cln%20%20a%2B%5Cleft(%201%2Ba%20%5Cright)%20%5Ex%5Cln%20%5Cleft(%201%2Ba%20%5Cright)%20$ ，

易知 $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%5Cnearrow%20$ ,

故 $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%3Ef'%5Cleft(%200%20%5Cright)%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cln%20%5Cleft(%20a%5E2%2Ba%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%200%7D$ ,

解得 $a%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D-1%7D%7B2%7D%2C1%20%5Cright)%20%7D$ .

标签：高考数学高中数学导数压轴题高考真题单调性

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