郑涛（Tao Steven Zheng）著

【问题】

有一个指向 x 轴的匀强磁场（uniform magnetic field），以及一个指向 z 轴的匀强电场（uniform electric field）。一个带有正电荷（positive charge） 和质量（mass） 的粒子从原点（origin）释放出来，最初处于静态（rest）。求粒子随时间的轨迹。

【提示】

【题解】

使用向量叉积（cross product）计算磁力

所以洛伦兹力（Lorentz force） 是

将方程两边除以粒子质量，然后设 和 ，那么

设 来求解这个耦合微分方程组（system of coupled differential equations)

将第三方程代入第二方程的导数，得

以上微分方程是一个非齐次常微分方程（non-homogeneous ordinary differential equation），因此通解（general soution）等于齐次解（homogeneous solution）与特殊解（particular solution）之和。

(1) 齐次解

特征方程（characteristic equation）为 ， 其中 。

因此，

或

(2) 特殊解

由于 是个常数， 如果 ，那么 ，然后以下微分方程

简化为

因此， 。

所以，微分方程的通解（general soution）是

因为本粒子最初是从静态释放的，

使用积分法来推得轨迹，

因为本粒子最初是从原点 释放的，

将 和 替换为其原量，得

轨迹之解是一个摆线曲（cycloid）！