036 Improved current mirrors
这里Sansen给出了两种提升电流复制精确度的电流镜结构，左边的是cascode电流镜，右边是wilson电流镜。
本文主要解释两个电路的环路作用方式以及Sansen说的wilson电流传递函数的peaking现象。
它们两者提升输出电阻的区别在于，左边用的是源极负反馈，右边用的是Gainboost。
带源极负反馈的共源放大电路输出电阻约为gmR1R2，因此增大输出电阻有两种选择，增大R或者增大gm，也就分别对应cascode和wilson两种电流镜。
低频下，两个电路的输出电阻是差不多的，因为他们具有类似的环路增益，区别是环路经过的器件不同。Cascode电流镜利用的是M2的输出电阻进行负反馈，环路增益是gm4*ro2（假设两边管子尺寸相等）.
Wilson电流镜的反馈必须经过M1，环路增益是gm4/gm2gm1Rin=gm4*Rin（M4的返回比）。
跟上面Sansen写的T≈gm1Rin不同，我的理由如下：
关于这里环路增益的讨论，有两种看法。如果单从输出电阻的角度来看，那这个电路就是个Gainboost。如果gm4比较大，M2M4看成跟随器，那么环路增益就是gm1Ringm4/gm2/(1+gm4/gm2)，如果gm4比较大，那么1+gm4/gm2中的1就可以被忽略掉，环路增益约等于这里写的gm1Rin，主要是M1管和电流源的增益。但是，如果考虑到此电路的目的是复制左边的电流，那么真正提升电流复制精度的放大管应该是M4管，它让左右两边的VDS尽量相等，从而保证了电流复制的精确，gm4越大，反馈越强，复制的就越精确。两者在计算输出电阻时的思路也不一样，如果采用gainboost的思路，将gm1置零，那么gm4还将起作用，二极管M2的源极负反馈会提升输出电阻为ro4(1+gm4/gm2)，这个输出电阻乘以M1的返回比就是总的输出电阻Ringm4ro4（假设gm1=gm2）；如果采用第二种思路，将gm4置零，那么剩下的输出电阻就大约只有ro4，再乘以M4的返回比就是总的输出电阻gm4Rinro4。这是两个不同的看法，结果也是一致的，个人倾向于第二种，意义更清晰一些，尤其是使用渐进增益公式算iout/iin传递函数的时候。
关于Cascode电流镜与Wilson电流镜的频率响应，sansen这里简单的说了一下，他认为cascode电流镜要好于Wilson电流镜（这里没有将M2输出电阻的源极电阻负反馈当作反馈，是因为这里相较于Wilson电流源来说，并没有其他放大器的参与）。”A similar reasoning is valid for the current mirror on the right. There is one major difference however. The circuit on the right is a feedback amplifier with loop gain T. Since all time constants in that loop are of the same order of magnitude, they create a system with several poles. As a result, peaking can occur in the current transfer characteristics.”
Sansen这边提到，Wilson电流源可能会有Peaking，这个Peaking是如何产生的呢？EETOP论坛上也有关于这里的讨论，但是讨论的结果并不清晰。给了几篇参考文献，都是同一个人写的，简单推导了两种电流源的极点分布情况。
三篇文献的标题如下，作者都是G. Palumbo，
1、On the frequency response of cmos cascode current mirror
2、Optimised design of wilson and improved wilson cmos current mirrors
3、Design of the Wilson and improved Wilson MOS current mirrors to reach the best settling time
很多人说不觉得Wilson的更好，而是Cascode好。
先说我的推导结论：Peaking的原因是Wilson电流镜中，由于Gainboost的存在，M1M2的CGS看到的等效电阻更小，所以主极点会更高，导致了可能的Peaking。这个peaking有两方面的因素——第一，如果cascode管的gm很大，有可能产生复极点；第二，Wilson电流源中二极管M2会和栅源电容产生一个零点，由于主极点往后推了，零点会在两个极点之前出现，导致一个尖峰的形状。这个peaking也可能是Palumbo提到的高频特性更好的说法，它的带宽会大一些。消除这个peaking的做法就是在左边支路加个电容，让这个环路在高频处消失就可以了。
还是通过推导表达式来分析一下频率响应：
Palumbo这里为了简化推导，做了一些近似，电容只考虑CGS电容，并且不考虑左边二极管的电容，这个二极管的作用只是电平移位。
先来看cascode电流镜：
为简单起见，把二极管M3当作导线，只考虑CGS1+CGS2和CGS4两个电容的影响
CGS1+CGS2记为C1，CGS4记为C2
C2开路，C1看过去的等效电阻为1/gm1；C1开路，C2的时间常数应该这么算（加流求压）：
得到等效电阻是2/gm4。于是s的系数为C1/gm1+2C2/gm4
C2短路，C1看到的等效电阻是两个二极管并联，那就是1/2gm1，再乘以C1开路时C2的时间常数2C2/gm4，得到s平方项的系数为C1C2/gm1gm4
于是传递函数的分母为
1+s(C1/gm1+2C2/gm4)+s^2(C1C2/gm1gm4) （Cascode）
注意到这里的Δ=b^2-4ac永远大于0，也就是说必然是两实根。
计算结果和论文上的一致
论文里还列出了两个零点，可以这么考虑：
对于零点来说，如果所有的ro都趋于无穷，那么将输出iout置零时，M4的VGS应该是0，也就是C2上不该有电流，于是M2也不该有电流，于是VGS2也是0，所以C1上也不该有电流。这么理解的结果就是，如果有零点，一定和ro有关系，ro越大，零点越远，远大于gm/Cgs的量级。
Wilson电流镜：
C1开路时，C2看到的等效电阻为2/gm4，跟上面一样
但是C1看到的等效电阻由于Gainboost，变小了很多，为2/(gm1Ringm4)，与C2相比，C1带来的开路时间常数可以忽略不计。
还是将C2短路，C1看到的等效电阻依然是两个二极管的并联，1/2gm1
于是s平方项的系数和cascode的相同，都是C1C2/gm1gm4
传递函数的分母为：1+s(2*C2/gm4)+s^2(C1C2/gm1gm4)
得出P1和P2在极点分离情况下的估计表达式
如果gm4比较大，这个主极点的估计值会超过p2，也就意味着复极点的产生，这是Peaking的其中一个原因。
论文中的结果：
（文献上，cascode管的尺寸是下管的B倍，所以cascode管的gm是下管gm的根号B倍）
此外，很明显可以看到二极管电阻M2和C1并联谐振的时候会使输出电流为0，所以这里有一个左零点，位置在gm1/C1处。
由于主极点是gm4/2C2，此零点有可能会在主极点之前出现。这是Palumbo总结的Peaking的另一个原因。
