如何利用微积分来求椭圆面积。

在之前学圆锥曲线的时候，我很好奇的对椭圆的面积πab是怎么得来的时候。

首先我用的是仿射变化的方法:将X^2+Y^2=1将X轴拉伸a倍，将Y轴拉伸b倍。

有:X^2/a^2+Y^2/b^2=1

可以将πR^2仿射变化得到πab，但这种方法虽然看上去直接但好像没有那么的严谨，所以我们接下来用微积分严谨的证明一下。

对于:X^2/a^2+Y^2/b^2=1(这种表示的是在x轴上的椭圆，Y轴的椭圆可以旋转转化成x轴的分析。这样的椭圆方程表示的是长半轴a，短饭桌为b的椭圆。)

有:此时，如果我们可以画出来这个椭圆。(见图片)

我们将椭圆的面积定义成一个S，观察图片，我们可以得到这个椭圆在坐标轴上是一个对称图形(同时关于x轴和y轴对称)，这个时候我们容易发现，此时，四个区间内的面积是一样的，我们将它定义为s。

那么我们就容易得到S=4s

对于s。我们可以利用微积分来计算:我们分别有两种计算方式。

∫(下0，上a)y dx或者∫(下0，上b)x dy

我们计算后一种方式，因为前一种方式会得到一个负值(当然，我们也可以直接取绝对值，但是我们还是计算后者。关于前者的过程我也会写下来，个人认为结果相反之原因可能是因为正余弦的性质。)

∫(下0，上b)x dy

首先，我们通过上面的标准，方程化为x的形式有:X=a√(1-y^2/b^2)

那么，我们会得到面积S

S=4a∫(下0，上b)√(1-y^2/b^2) dy

然而，我们发现，这个东西很难积分，至少对于一个高二学生来说。直接积出来这个似乎没有那么容易。所以这个时候我们利用参数方程来进行辅助计算。

我们直接来列出椭圆的参数方程:

x=cosq.b

y=sinq.b

q，我们将之定义为在第一象限内椭圆的任意一点(x,y)与原点的连线和x轴构成的角的大小。

此时，我们再一次计算上面的公式:

s=∫(下0，上b)x dy

X=cosq.a    y=sinq.b

X(q)=cosq.a    y(q)=sinq.b

这个时候我们求导可以得到:dy/dq=bcosq

dy=bcosq dq

且这个时候的区间为(0,π/2)

我们可以得到:

s=∫(下0，上π/2)abcos^2q dq

S=2ab∫(下0，上π/2)2(1-sin^2q)dq

S=2ab∫(下0，上π/2)1+(1-sin^2q)dq

S=2ab∫(下0，上π/2)(1+cos2q)dq

y'(y=x)=1，y'(y=sin2q)=2cos2q

有:S=2ab(X丨(下0，上π/2)+sin2q/2丨(下0，上π/2))

S=2ab.π/2=πab

注:上面那个X其实是由于习惯写的并不严谨，更准确的写法应该是:y'(y=q)=1，S=2ab(q丨(下0，上π/2)+sin2q/2丨(下0，上π/2))

[我们在这里省略一大部分∫ydx过程，这一部分过程我们都写在图片上。]

到最后我们便可以推出来结果为S=πab。

这就是我们利用微积分来推导椭圆面积的公式的办法了，其实，随着学习的深入。我们会发现很多我们曾经看着高深的工具也并非完全不可能理解，利用强大的数学工具。可能会使我们曾经无法解决的数学难题得到解决。

还有祝大家新年快乐。

(在这里感谢给我给于指导的数学老师和我的朋友们，同样的，如果你们有更好的证明方法或者想法的话也可以在下面指出来。本人数学并没有那么好，希望得到各位大佬的指导与其它的计算方法的介绍分析。)

注:文中有一处书写格式有误，我标注了有误，并且在后面写出了正确的格式，希望注意。

图片：