老师说课：数学归纳法

课题：数学归纳法

教学目标：

知识与技能目标：通过学生已有的实践经验和数学经验, 激起问题与反思, 提炼出数学归纳方法的本质, 并理解, 形成解题操作步骤, 并做简单应用.

过程与体验目标：体验观察、猜想、归纳、证明这一做数学的路子，在 “多米诺骨牌”实例的感受中，类比出“数学归纳法”的本质，并在使用该方法中加深理解.

情感、态度、价值观目标：通过观察，先激起学生的兴趣，让学生兴奋起来；然后乐于并愿意参与到随后的类比、讨论、分析、归纳、总结活动中，最终要让学生认识到数学归纳法是从特殊到一般的方法，是从有限到无限的递推，在此体验上，形成科学严谨，又不乏灵活的学习数学和做数学的作风，从而形成实事求是、力戒浮夸的思维习惯；在感受数学史上和生活实例的同时，帮助学生认识到数学的科学价值和文化价值.

教学重点：对归纳推理的认识了解，自然地得到数学归纳法本质的提炼与理解.

教学难点：对数学归纳法原理的了解.

教学关键：讲清数学归纳法的两个步骤及应用.

创新点： 能运用新课标理念，引用直观实例，加深学生感受深度，激发学生讨论，汇总形成语言文字，不仅让学生感受，也让学生试着学会表大感受，表达感受是去伪存真和加深印象的好方法.

教学方法：实例观察、问题启发与必要讲述相结合（激起反思，为正确理解保驾护航）.

教学准备：多媒体.

教学课时：1课时

教学过程：

一、归纳是什么：

拉普拉斯（Laplace，1749-1827)：在数学中，发现真理的主要工具是归纳和类比，归纳是数学的基本思考形式，也是做数学的基本功。

归纳是什么？中科院张景中院士：用手扔一个石子，它要掉下来。再扔一个玻璃球，它也要掉下来。再扔一个苹果，它还是要掉下来。我们会想到：不管扔个什么物体，它都是要掉下来的；进一步去想这是为什么，想到最后，认为这是由于地球引力。

但是，我们并没有把每件物体都扔上去试一试。试了若干次，就以为可以相信这是普遍的规律。这种推理方法，叫归纳推理。

在物理、化学、生物、医学等许多实验科学的研究中，用归纳推理来验证一条定律、一条假说是常有的事。理论对不对，用实验来验证。

我们也曾经多次用到归纳的方法，让我们一起来看这样两个问题。

问题1：3，5，7，11，13这5个数都是质数（只有1和它本身两个约数的正整数）吗？

问题2：对于数列{an}，已知a1=1，an+1=，n∈N*，求出其前5项，并归纳猜想其通项公式。

谢谢，你让我们分享了你所发现的真理。

让我们再来反思这两个问题的解决。（反思是深入的开始，思想在反思中深邃，方法在反思中确定）它们都使用了归纳法，使用时，你的感受分别是什么？

第一个“考察了所有对象，得到归纳结论”，这种方法为枚举归纳法（也叫完全归纳）；第二个“考察了部分对象，猜想得到归纳结论”，这种方法为不完全归纳法。完全归纳法给人的感觉是结论可靠，不完全归纳法让人感到结论不可靠。

对不完全归纳法的这种担心也是有道理的，数学史上曾经有这样一则实例：

费马（Fermat,1601-1665，法国著名的业余数学家）曾提出一个猜想：形如Fn=1+2 (n=0,1,2,3,…)的数都是质数，比如, n=0时，Fn=3 ；n=1时，Fn=5 ；n=2时，Fn=17 ；n=3时，Fn=257； n=4时，Fn=65537

欧拉（Euler,1707-1783，瑞士著名数学家）说：费马错了，因为n=5时，Fn=4294967297=6700417×641

考察全体对象，得到一般结论

由以上我们了解到：

结论一定可靠

完全归纳法

结论不一定可靠

归纳法

考察部分对象，得到一般结论

不完全归纳法

在数学上，当一种方法有遗憾的时候，我们往往不是将该方法彻底放弃，而是对之加以改进，使之更优化。那么有没有一种归纳法，让我们用起来，既省时又能得到可靠的结论呢？

一、数学归纳法的探寻：

方法的改进只能在问题的困惑中产生。

请大家比较2n与n2+2（n∈N*）的大小.

指数形 与 二次形 是数学上常见的两种形式，我们已经相当熟悉了。比较它们的大小，你打算怎么办？有什么可以具体实施的方法？（n是一个字母，它可以取正整数中的任何一个数。到底哪一个数？不知道！因为n的不具体，我们无法求出两个数值，也就无从比较起。我们可以从n的较简单的具体取值情况入手。）

n=1, 左边=21，右边=3，左边<右边； n=2, 左边=22，右边=6，左边<右边；

n=3, 左边=23，右边=11，左边<右边； n=4, 左边=24，右边=18，左边<右边；

猜测 2n < n2+2 ，你认为这个猜测对吗？

n=5, 左边=25=32，右边=27，左边>右边； n=6, 左边=26=64，右边=38，左边>右边；

猜测 2n > n2+2 ，你认为这个猜测对吗？

n=7, 左边=27=128，右边=51，左边>右边； n=8, 左边=28=256，右边=66，左边>右边；

可以猜测2n > n2+2 (n≥5)

如此计算太繁了，我们怎么化繁为简呢？（困难产生了，后面的正整数还有很多，有限的时间里验证不完。这是我们不妨回头看看我们的解答，看能否找到启示）

（1） 请大家观察n=7与n=8两个式子，分别比较这两个式子的左端和右端。

左端： 27与28，有2倍关系，相差128；

右端： 51与66，无2倍关系，相差15；

对此，你有什么启发？ 28 = 2×27 > 2×51 > 66 ，

（2） n=9时，2n > n2+2成立吗？验证！ 用什么方法验证？

29 = 2×28 > 2×66 > 82，

（3） 大家在观察以上过程，你又会有什么发现？

n=7时结论成立 → n=8时结论成立

n=8时结论成立 → n=9时结论成立

（两者推导方法相似）

（4） 想证得所有n≥10时，也都有2n > n2+2 成立，该怎么办？

我们只需要将上述证明的过程一般化（抽象化），就不需要我们一个个验证了。

如何一般化呢？用字母表示数即可。即：由 n=k时结论成立 → n=k+1时结论也成立。

假设n=k猜想成立，即2k > k2+2,

则n=k+1时，2k+1 = 2×2k > 2×(k2+2) = k2+2 + k2+2 > k2+1+2k+2 > (k+1)2+2

所以n=k+1时结论也成立。

（5） 这样的方法就叫做数学归纳法。结合以上我们的观察、猜想、类比，尝试，如何把这件事情叙述清楚？第一步该做什么？验证n=5时猜想成立。然后由 n=k时结论成立 → n=k+1时结论也成立。

（6） 数学归纳法的操作步骤是什么？

证明当n取第一个值n0(例如n0=5等)时结论正确；

假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.

在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.

三、身边的归纳例子：

数学归纳法的思想在我们的身边就有很多。

1．请大家观看影片片断（多米诺骨牌演示）

2．长长的一列士兵在路上。将军把一句口令告诉最前面的士兵，这个士兵开始把口令往后传。如果每个士兵听到口令后都往后传，这口令自然会传遍全军。

它们和数学归纳法的原理相同吗？

如果有一连串句子，按顺序一个一个排好了，也会产生这种多米诺骨牌现象：如果第一句是正确的，又知道如果某一句是正确的，则下面那一句也对，那么，这里每一句话都不会错。

数学里的命题，无非是一句话。这句话非真即假。如果命题和自然数n有关，n取1，2，3，…，便有了一连串命题。数学归纳法告诉我们：

对于一个与自然数n有关的命题P(n). 如果：

（1） P(n0)成立；

（2） 如果P(k)成立，则P(k+1)也成立。

那么，对一切n(n≥n0)都有P(n)成立。

这两个步骤，（1）叫做归纳起点，（2）叫做归纳推断。

四、练习反馈：

五、本课小结：

六、作业布置：

七、课后反思：

说说“数学归纳法”这一课

 一、教材分析

1、教材的地位和作用

在数学必修5数列的学习中，学生已经学习了用归纳法推导等差数列、等比数列的通项公式，但其正确性还有待用数学归纳法加以证明，因此数学归纳法学习是数列知识的深入与扩展。它既是高中数学中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学发现方法。数学归纳法这一方法，贯穿了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数。根据新课程标准 “数学归纳法”教学分三个课时，本节课是第一课时，讲的是数学选修4-5中第三节的内容。教材对该法的教学比较偏重证明及运用，很少研究它的发现，新教材的改革已开始关注探究性问题，因而通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：提高学生的抽象思维能力；培养学生科学探索的创新精神，全面提高学生综合素质。为了避免机械套用数学归纳法证题的两个步骤，造成学生思维的惰性及僵化，因而我把分析数学归纳法的原理和实质作为本节课的重点，考虑学生对第二步中的递推思想感到困难，因此把正确理解第二步中的递推思想作为难点。

2、教学目标

根据本节内容的作用、地位以及学生的具体情况，我把这节课的教学目标分为以下三个子目标：

知识目标：理解数学归纳法的原理和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的数学命题。

能力目标：培养学生观察、 分析、论证能力，进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力。

情感目标：创设一种愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。

知识目标主要是根据教学大纲及学生原有的认知水平制定的；而能力目标和情感目标是根据本节课内容的独特性及抽象性，为营造一种良好的学习氛围，有利于提高学生的学习兴趣和学习效果而制定的。

二、学情分析

学生在学习数列求通项时，已经具备一定的归纳、猜想能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有侍加强。

三、教学方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用引导发现法和讲解分析法相结合进行教学。

引导发现法属于启发式教学，体现了认知心理学的相关内容。在教学过程中，教师采用启发、引导、点拨的方式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，进而达到对知识的“发现”和接受，完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。本节课还采用了讲解讨论相结合，交流练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境、精选练习并以适当的辅导，巩固所学知识。

教学手段：通过多米诺骨牌游戏的动画演示，提高了教学的直观性和趣味性，促进学生对“递推原理”的理解，为“数学归纳法”的应用前提和场合提供形象化的参照物，为教学难点突破提供感性基础.

四、学法指导

“未来社会的文盲，将不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人”.在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设问题情境，引导学生思考；演示直观模型，化抽象为具体，突出教学难点。通过教师的启发与点拨，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。课堂上，通过师生双向交流及学生自学思考，学生经历了“观察à分析à猜想à论证”的思维环节，进一步掌握了自主探索问题、自主学习的方法。对学生具体要求：1、课前預习教材有关内容； 2、听课时积极思考、大胆质疑；3、养成良好的自学习惯，并学会与同学交流 4、完成练习及“课后作业”

下面着重介绍教学过程，我把这节课安排为新课引入环节、讲授新课环节、反馈练习、小结与作业四个环节

五、教学过程

1、 新课引入

讲述费马与欧拉数学史例， 吸引学生注意，丰富课堂情趣，自然引入归纳法，同时通过史例，渗透德育教育，培养学生严谨求实的数学思想，接下来引导复习等差数列通项公式及推导，并提出问题：既然用归纳法得出的结论未必正确，那么等差数列的通项公式是否正确，如何判断它的正确性？旧知识产生新问题，引发学生思考，激发学生的心理需要，提高进一步探索的兴趣，使数学归纳法的引入水到渠成。

2、讲授新课

演示多米诺骨牌游戏(课件)，并提出问题：多米诺骨牌游戏成功对骨牌的摆放与操作有什么要求？学生思考讨论，得出多米诺骨牌游戏成功依赖两个条件

第一步：第一张牌被推倒

第二步：假若前一张牌被推倒，则后一张牌被推倒

其中第二步用到的就是递推关系，如此通过动画、动脑，形象展示递推关系，为教学难点突破提供直观的的参照物，作感性上的突变，从而分解数学归纳法的一个难点。接着提问：能不能用这种递推关系证明等差数列的通项公式？如何证明，分几步证明？学生思考并作答，教师给以板书

当n=1，命题成立

假设n=k，命题成立，则n=k+1时命题也成立

这种证明方法就是数学归纳法，如此设计的目的，从实际的问题提炼出一般性的数学规律，再用得到的规律去解决具体的数学问题，使学生的思维随着问题的深入起伏跳跃，始终处于积极主动思考中。同时用一张牌对应一个命题，某张牌的倒下对应某个命题的成立，符合知识的迁移规律，有利于学生理解。

接下来让学生自学并思考几个问题，有利于培养学生良好的自学习惯，提高学生独立思考解决问题的能力，让学生从“学会”变“会学”，充分体现学生为主体的教学思想，利用自学时间老师巡视，帮助思维暂时受挫的学生，自学后，学生讨论，而后老师小结，数学归纳法是证明一些与正整数有关的命题，数学 归纳法证题的实质，就是用递推的思想替代无限的递推过程，若设P(k)表示命题，则由P(1)(利用第二步) →P(2) →P(3) →┄P(n)，从而对所有的正整数都成立，数学归纳法的核心是递推思想 ，两步缺一不可，其中步骤 (1)是递推的起点与基础，没有步骤 (1)则步骤 (2)就成了无源之水，无米之炊,成为幻想；若只有步骤 (1) 没有步骤 (2)，就失去了递推的依据，无法实现从“有限”到“无限”的递推过程。为加深印象，举出反例说明。

然后师生共同完成等差数列通项公式的证明过程，学生思考回答，老师板书，并进行分析 ，将第二步进一步分为：利用递推关系 ，代入归纳假设，进行恒等变形，进一步分解难点。在这一环节中，教师始终抓住递推思想这一关健，从介绍递推思想，到认识递推思想，再到深入理解和利用递推思想 ，层层深入，步步为营 ，使学生真正理解数学归纳法的实质。接下来讲解例2 ， 进一步理解数学归纳法证题的方法与步骤，并学会用所学知识证明恒等式，达到学以致用的目的。

3、反馈练习

教师巡视，将个别学生的练习错误指出，并进行必要的补充，如此设计的意图，是为了进一步巩固所学知识，并使学生在练习及集体的评析中体验到成功和进步的喜悦。

4、小结及作业

小结由教师和学生共同完成，重点小结数学归纳法的原理和实质，强调指出运用数学归纳法证题中的第一步中n取第一个值n0，n0不一定是1，可以为其它正整数，第二步证明必须用到归纳假设，否则就不是的数学归纳法，如此设计的目的是起到化龙点睛的作用，并为下节课内容埋下伏笔，设计悬念。作业分为书面作业和课后思考题，课后思考题不做统一要求，为不同程度的同学提供更为广阔的思考探索空间。

以下是板书设计.

 数学归纳法

一、数学归纳法 三、应用举例

例题

二、数学归纳法证题步骤

（1）

（2）

Ø 教师教学用书

1． 理解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2． 数学归纳法的地位和作用

① 中学数学中的许多重要结论，如等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明。 由归纳、猜想得出的一些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法加以证明，可以使学生对有关知识的掌握深化一步。

② 运用数学归纳法可以证明许多数学命题，既可以开阔学生的眼界，又可以使他们学到推理论证的训练。

③ 数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到，因此掌握这种方法为今后学习打下了基础。

3． 本节的重点和中心：数学归纳法原理

4． 要认识到用数学归纳法时，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。

5． 在数学中，与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确。要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数，这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果n=n0时命题成立，再假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立（这是命题是否成立是不确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立。

6． 在第二步，在推证前，n=k时结论是否成立是不确定的，因此用“假设”二字。这一步的实质是证明命题n=k的正确性可以传递到n=k+1时的情况。有了这一步，联系第一步的结论（n=n0时命题成立）就可以知道命题对n0+1也成立，进而再由第二步可知n=(n0+1)+1即n=n0+2也成立，… ，这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于n0的正整数都成立。

在这一步中，n=k时命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用归纳假设，不能直接将n=k+1代入命题。

注意到n=k+1时命题是待证明的，常采用从一边开始以另一边为目标进行推证的办法。

7． 数学归纳法虽然没有就所有正整数一一验证结论，但它具备了递推基础与根据，因此得出的结论是可靠的。

8． 数学归纳法也是一种完全归纳法，常用来证明用不完全归纳法得出的结论。

 新课程标准中“推理与证明”解读 

教育价值

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

1． 有助于学生体会数学与其他学科以及实践生活的联系。

人们常认为演绎推理与逻辑证明是数学标志性的思维方式，体现了数学思维的特征。但数学的发现和分析过程也常用到合情推理，人们在日常生活和其他学科中也在使用推理和证明，但更为常用的是合情推理和实验、实践证明。《标准》强调推理与证明与其他学科以及实际生活的联系，提倡通过生活实例与数学实例认识、体会推理证明的意义及其重要性。这样处理打破了以往数学与其他学科以及实际生活之间的人为壁垒，有助于学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系。

2． 有助于学生理解数学本质，形成对数学较为完整的认识。

演绎推理是证明数学结论、建构数学体系的重要思维方式，因此，就完成了的形式而言，数学是演绎性的学科。但数学结论和数学证明思路的发现过程主要靠合情推理，即观察、试验、归纳、猜测等等。因此，从数学发现过程以及数学研究方法的角度看，数学与自然科学一样，又都是归纳的科学。《标准》中将合情推理作为推理与证明的重要内容，有助于学生认识到数学既是演绎的科学，又是归纳的科学，数学不单是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识。而且学习合情推理有助于培养学生进行归纳时的严谨作风，从而形成实事求是、力戒浮夸的思维习惯。

3． 有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值

数学证明只有在确定的前提下才能进行。现代数学的多数分支的建构是受到了公理化思想的影响的，或者是按照公理化思想完成的。欧几里德的《几何原本》是成功运用公理化方法的典范；牛顿的经典力学体系就是公理化方法建构的，马克思的《资本论》、杰弗逊的《独立宣言》等也受到了公理化方法的影响。这反映了数学对科学发展、社会发展和人类思想发展的作用。

4． 有助于发展学生的数学思维能力，提高学生数学素养

人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。它们是数学思维能力的具体体现。推理与证明（例如合情推理与演绎推理）可以综合体现和说明这些数学思维的特点。

5． 有助于发展学生的创新意识和创新能力

经历数学发现过程，掌握从事数学发现的基本方法是发展学生的创新意识和创新能力的有效途径。归纳、类比是合情推理中常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理的结论往往超越了前提所包容的范围，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用。

关于推理与证明

推理一般包括合情推理和演绎推理。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学证明是逻辑证明，主要通过演绎推理来进行。

合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，在数学中，合情推理的主要形式有归纳和类比。

关于合情推理，波利亚在他的著作《数学与猜想》中指出：“数学的创造过程是与其它知识的创造一样的，在证明一个定理之前，你先得猜测证明的思路。你要先把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地尝试。数学家的创造性成果是论证推理（演绎推理），即证明，但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程少反映出数学的发明过程的话，那么就应当让蔡祥、合情推理占有适当的位置。”波利亚还认为“论证推理是可靠的、无疑的、终结的。合情推理是冒险的、有争议的和暂时的，他们相互之间并不矛盾，而是相互补充的。”“我不相信有十拿九稳的方法，用它可以学会猜测”，但是，“假如我们能从一种情形学到适用于其他一些情形的某些东西，那么这种情形就是有启发性的，可能适用的范围越广就越有启发性。”这说明合情推理的模式与方法具有一定的启发性和探索性。

合情推理与演绎推理中的一般形式：归纳推理。

归纳推理（简称归纳）是从个别事实中概括出一般原理的一种推力模式。归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法。

例如：6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13

从这些个别情况，我们可以猜想：任何一个大于4的偶数都可以表成两个奇数之和，这就是著名的歌德巴赫猜想。这个猜想至今没有人能回答他的正确性。又如，法国数学家费马认为：不可能将一个立方数写成两个立方数的和，或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，一般地说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂的和。这个结论费马认为可以证明，但是并没有给出证明过程。这个困惑了世间智者358年的猜想，终于在1994年获证。从这两个例子可以看出，用不完全归纳法得到的结论未必是可靠的，但使用方便并具有发现的功能。

由于穷尽了被考察对象的一切特例以后才作出的结论，因而结论是确凿可靠的。完全归纳法是一种必然性的推理，但是，因为要无一遗漏地考察所有特例，完全归纳法的发现功能是不强大的。（是否有一种方法让我们做了完全归纳，而又没有无穷尽的消耗时间呢？）

归纳推理有以下几个特点：

1．归纳时一句特殊现象推断一般规律，因而有归纳得到的结论超越了前提所包容的范围。

2．归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质。

3．归纳的前提是特殊情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的。

又归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现都是十分有用的。观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出地有规律性的说法，乃是科学研究的最基本方法之一。

运用归纳推理时，其一般步骤是：首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；最后，对所得出的一般性命题进行检验，在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明。

数学归纳法

数学中，教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，特别应该注意引导学生通过归纳推理发现结论（与自然数有关的规律），然后再用数学归纳法证明其正确性。对证明的问题要控制难度，例如，让学生观察下列等式：

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

根据上述等式找出它们的一般规律，并用适当的数学式子表示出这个规律，尝试用数学归纳法证之。

数学归纳法是具有证明的功能，它将无限的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理的结合）过程。

 院士讲“归纳与演绎” 

推理是一种思维过程，可是思维却不一定是推理。甜蜜的回忆，愉快的遐想，是思维活动，并非推理。

如果你在推证一个几何定理，或根据物理定律设法解释一种现象，或猜谜，这时，你的大脑里往往要进行一种特定的思维活动——推理。从一些事实或断言出发，按照一定的模式去寻找新的信息，这便是推理。

见到1只乌鸦是黑的，2只也是黑的，100只都是黑的，因而断言“天下乌鸦一般黑”，这种从大量经验事实出发作出判断，叫做归纳推理。数学家提出猜想，往往借助于归纳推理。

从一些给定了的命题——前提出发，是用逻辑法则，一步一步推演出新的命题，这叫演绎推理。从牛顿三大定律和万有引力定律推出行星绕日走的是椭圆轨道，从几何公理出发证明三角形内角和是180度，用的是演绎推理。

用手扔一个石子，它要掉下来。再扔一个玻璃球，它也要掉下来。再扔一个苹果，它还是要掉下来。我们会想到：不管扔个什么东西，它都是要掉下来的；进一步去想这是为什么，想到最后，认为这是由于地球引力。

但是，我们并没有把每件东西都扔上去试一试。试了若干次，就以为可以相信这是普遍的规律。这种推理方法，叫归纳推理。

在物理、化学、生物、医学等许多实验科学的研究中，用归纳推理来验证一条定律、一条假说是常有的事。理论对不对，用实验来验证。

数学研究似乎不是这样。你在纸上画了一个三角形，用量角器量量它的三个角的大小，加起来差不多是180度。这样画上百个三角形来试验，发现每个三角形内角和都接近180度。而且量的越准，越接近180度。你能不能宣布，我用实验证明了一条几何定理“三角形内角和是180度”呢？

老师早告诉我们了，这不行。要证明一条几何定理，要从公理、定义和前面的定理出发，一步一步地按照逻辑推理规则推出来才算数。用例子验证是不合法的。

这表明，数学要的是演绎推理。归纳推理只能作为提出猜想的基础，不能作为证明的证据。

归纳法与演绎法是人类认识世界的两大工具，都是认识世界的工具，又何必让它们这样水火不相容呢？

数学归纳法——顺藤摸瓜，由近及远

长长的一列士兵在路上。将军把一句口令告诉最前面的士兵，这个士兵开始把口令往后传。如果每个士兵听到口令后都往后传，这口令自然会传遍全军。

类似地，如果有一连串句子，按顺序一个一个排好了，也会产生这种多米诺骨牌现象：如果第一句是正确的，又知道如果某一句是正确的，则下面那一句也对，那么，这里每一句话都不会错。

数学里的命题，无非是一句话。这句话非真即假，不能是疑问句与惊叹句。如果命题和自然数n有关，n取1，2，3，…，便有了一连串命题。数学归纳法告诉我们：

对于一个与自然数n有关的命题P(n). 如果：

（1） P(1)成立；

（2） 如果P(k)成立，则P(k+1)也成立。

那么，对一切n都有P(n)成立。

这两个步骤，（1）叫做归纳起点，（2）叫做归纳推断。

Ø 考试大纲：

理解数学归纳法的原理，会用数学归纳法作简单的应用。

Ø 数学通讯：

在数学教学中，学习形式化的表达式一项基本要求，但是不能只局限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲究逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法。所以没有对数学本质的理解，就不可能有应用和创新，这就要求我们在教学中必须阐明问题产生的背景、抽象的过程以及结果的表述，体现其内在本质。 数学归纳法很容易被人认为是一种形式化的操作步骤，而忽略掉其本质原理。

Ø 数学教学：

归纳就是“看出一般”的能力。

波利亚总结了归纳的典型步骤：首先，注意到了某些相似性；而后是一个推广的步骤；这样就得到了一个明确陈述的命题。

归纳猜想不仅在数学学习中起着重要的作用，在日常生活和工作中也是必不可少的能力。通过观察一些表象问题，从中概括归纳一般规律，猜想事物的本质。这是人们认识世界和改变世界的必要手段。对学校教育中的学生来说，归纳猜想是必不可少的数学素养之一。

所谓数学素养，使人们必须的数学修养，是数学学科固有的内蕴特性，是在人的先天基础上，通过后天学习获得的数学知识技能、数学思想方法、数学能力、数学概念和数学品质融于身心的一种比较稳定的心理状态。数学素养是一种个人能力，学生能确定并理解数学在社会所起的作用，得出有充分根据的数学判断和能够有效地运用数学。这是作为一个有建构的、关心他人和有思想的公民，适应当前及未来生活所必需的数学能力。