有界的定义；用定义判定；证明不等式2x≤1+x^2

牛顿305、有界的定义；用定义判定；证明不等式2x≤1+x^2

 

有界（百度百科）：…

…有、界、有界：见《牛顿304》…

 

定义2

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

 

设函数f（x）在数集A上有定义，如果存在常数M，使得对任意x∈A，有f（x）≤M，则称函数f（x）在数集A上有上界，并称M为f（x）在A上的上界。

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…常、数、常数：见《欧几里得132》…

 

如果存在常数m，使得对任意x∈A，有f（x）≥m，则称函数f（x）在数集A上有下界，并称m为f（x）在A上的下界。

 

显然，若f（x）在A上有界，则f（x）在A必有上、下界。反之，若f（x）在A上有上、下界，则f（x）在A上必有界。

 

由定义1可知，在集合A上，有界函数f（x）的图形在A上，应介于平行于x轴的两条直线y=±M之间，如图所示：

…集、合、集合：见《欧几里得31》…

注意点

 

关于函数的有界性，应注意以下两点：

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

 

（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

（2）从几何学的角度，很容易判别一个函数是否有界。

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…学：见《欧几里得4》…

如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的，如y=tan x，x∈（-π/2，π/2）。

例题解析

 

例1：讨论下列函数的有界性：

 

（1）y=sin x，x∈（-∞，+∞）；

…∈一般指属于（数学术语）：见《牛顿303》…

（…数、学、数学：见《欧几里得49》…

…术、语、术语：见《欧几里得67》…）

 

（2）y=tan x，x∈（-π/2，π/2）

 

解: （1）由于对一切x∈（-∞，+∞），都有|sin x|≤1，故y=sin x在（-∞，+∞）上是有界函数。

（用定义判定）

 

（2）根据y=tan x，x∈（-π/2，π/2）的图形容易看出，不论正数M多么大，不等式|tan x|≤1不可能对一切x∈（-π/2，π/2）均成立，因此y=tan x在（-π/2，π/2）上是无界函数。

 

但如果在区间[-π/3，π/3]上讨论函数y=tan x，因对一切x∈[-π/3，π/3]，不等式|tan x|≤√3（根号3）成立，故y=tan x在区间[-π/3，π/3]上是有界函数。

 

 

例2：

 

证明：函数y=2x/（1+x^2）是有界函数。

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

 

证明：y=2x/（1+x^2）的定义域为（-∞，+∞），又|y|=|2x/（1+x^2）|≤|（1+x^2）/（1+x^2）|=1。

因此y=2x/（1+x^2）是有界函数。

 

附：证明2x≤1+x^2。

解：X²+1≥2X
x²-2x+1≥0
（x-1）²≥0
因为任何数的平方都大于等于0
因此上式成立。
所以X²+1≥2X成立。

（2x≤1+x^2等价于X^2+1≥2X等价于x^2-2x+1≥0等价于（x-1）^2≥0：2x≤1+x^2 ↔ X^2+1≥2X ↔ x^2-2x+1≥0 ↔ （x-1）^2≥0）

 

“y=x+6在［1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。

请看下集《牛顿306、有界函数，无界函数》”

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