大学物理（原子物理学）知识梳理与例题选讲：§03 波动力学初步

导言

# 开篇

经典力学特点

• 连续
• 决定论

## 量子力学的特点

• 量子化
• 概率论

## 方法

关键词：

• 薛定谔的猫【波动力学(薛定谔)】
• 算符【矩阵力学(海森堡)】

波粒二象性

# 波粒二象性

## 光子的性质

• 波动性：物质体现干涉、衍射、偏振、折射现象
• 粒子性：物质体现光的动力学特性（能量、动量、角动量）【光电效应】

### 光子的动力学性质

由相对论【(狭义相对论-能量与动量)[https://www.bilibili.com/video/BV1nx41137dm/?p=6&;t=1229]】可知：能量E = 静能E_0 + 动能E_k

注意：光子静能E_0 = 0

• 光子的能谱关系：能量与动量的关系

• 光子的质量

回顾波动性与粒子性概念

### 光子性质与相对论

极端相对论粒子：不管情况如何只能使用相对论处理

## 物质的波粒二象性

物质波——德布罗意

### 德布罗意波

实物粒子与光子的性质区别

### 相对论的使用

回顾动力学关系

注意：光子是只能使用相对论表达式

### 德布罗意物质波的本质

物质波本质：不是机械振动的形式，概率分布的体现

## 例题：德布罗意波

### 例1：粒子性

• 第一小问

• 第二小问

up 主认为使用普适的相对论处理

题目的答案是采用经典理论

电子的能量性质

### 例2：微观粒子的衍射

求解

结果（可以使用相对论也可以使用经典力学）

薛定谔方程与波函数的意义

# 波动的表达式

• 圆频率ω：时间上，描述波动的快慢
• 波矢k：空间上，波动的传播快慢

## 物质波

注意：条件为单色平面波

### 物质波的形式

#### 自由粒子的波动方程

• 微分方程

对空间求二次偏微分目的是为了能与监视偏微分的能量E产生联系【相对论能量表达式E = E_0 + (pc)^2，非相对论：E = p^2 / (2m) (无势能)】

在非相对论下，即E = p^2 / (2m) (无势能)，可得

联系对能量的偏微分，可得

注意：上式为非相对论且无势能的表达式

自由粒子的薛定谔方程为从平面单色波（特解）反推而得，其为量子力学的基本公设

但由傅里叶变换可知，自由粒子的薛定谔方程具有普适性

• 算符

目的：书写方便

#### 一般粒子的波动方程

含时（间）Sch Eq （薛定谔方程Schrödinger equation），这只是一个推广

### 物质波的本质

经典理论：波的光程差导致产生干涉

干涉为粒子的概率分布——爱因斯坦

定态薛定谔方程及其求解

# 偏微分方程（PDE）

## 分离变量法

一般讨论一维问题

分离变量法的完备性

• 推导

注意：此处的函数R_n不能被约去，因为函数分子函数R_n为拉普拉斯算子∇^2的一部分

定态：能量为定值

• 分离变量的空间求解

注意E需要求解出

### 例题

#### 例1：一维无限深势阱

方法一

首先可得

其中此处无关时间因此函数ψ(x)=R(x)

求解

• 当E > 0时

• 波函数的特点

特殊情况

• 求解波函数

可得能量E(其中无关时间函数ψ(x)=R(x))

使用归一性，可得(其中无关时间函数ψ(x)=R(x))

最终可得

方法二

其为两端固定的驻波

注意：驻波条件（主要应用于求能量）

在非相对论下得

最终可得能量E

#### 例2：半势阱问题

概念

• 束缚态：不可运动到无穷远处，或者说无穷远处趋向0
• 散射态：无穷远处仍为波动值且不趋向0

第一问

可得

求解函数R

• 自然条件

图像

• 势垒贯穿：由量子力学处于势垒内部得粒子有概率越过势垒，而经典理论则无法越过

求解能量E

由连续性条件（a点保持连续）可得

注意上面得方程无法解开，因其为超越方程

第二问

作图法

#### 例3：狄拉克δ函数

狄拉克δ函数

狄拉克δ函数势阱

狄拉克δ函数的性质

积分后可得

求解方程

自然条件与连续性条件，得

由归一性可得

能量可得

又k为

可得能量E

函数R

氢原子的量子力学模型

# 氢原子量子力学模型

## 方程的求解

注意：势能V不是量子化的

坐标转换从直角坐标xyz到极坐标(r,θ,φ)

其中径向距离r、极角θ、方向角φ

### 边界条件

• 周期条件：2π为周期
• 自然条件：波函数必须有界

### 状态的确定

#### 束缚态的定态

• 径向函数R(r)

• 极角函数Ⓗ(θ)

• 方向角函数Φ(φ)

球谐函数

• 束缚态方程解的分析

可以看到氢原子能量E_n与玻尔模型解一致

• 简并： 同一能量E_n对应不同状态

球谐函数与状态

• 1s状态：球形

• 2s与2p状态：纺锤形

状态命令规则

• 电子云：电子分布概率

• 量子数n、l、m的物理关系

1、n： 主量子数

主量子数n反映了电子分布概率的最大值的距离

能层

2、角量子数 l：角动量（大小）

角动量L，与玻尔模型中L=nℏ比对

3、磁量子数m：角动量方向

回顾归一性

强行规定的球坐标下归一性

概率分布：径向函数R(r)、极角函数Ⓗ(θ)、方向角函数Φ(φ)

概率求解

不确定关系 I

# 物质波

# 不确定关系

## 符号意义

Δ：标准差

## 例子：光的衍射

### 一些解释（非严格）

最终得出

## 非严格推导

拍的过程（数学与概念上的不符合）

## 严格推导不确定关系

### 傅里叶变换（Fourier）

分别对波函数ψ(x,t)的时间波函数ψ傅里叶变换ψ(x,ω）、空间波函数ψ的傅里叶变换为ψ(k,t)

（其中k为波矢，ω为圆频率）

x的方差和波矢k的方差

归一化：x的方差Δx和波矢k的方差Δk

最终可得不确定关系表达式

## 不确定关系的讨论

空间Δx与动量Δp的讨论

能量ΔE与时间Δt的讨论

测量的物理讨论

注意：其不是指测量技术本身，而是指测量物体本身是不确定的

# 例题：不确定关系

## 例1：凸透镜

• 问题1

分析

• 问题2

** 加入介质 => 波长变短 => 提高分辨率

应用：显微镜浸润在油里提高分辨率

电子干涉与概率论

# 干涉实验

原因：电子具有波动性

双缝干涉时，概率分布需要叠加

注意：先进行波函数ψ叠加，然后求出概率P

> 干涉为粒子的概率分布——爱因斯坦

电子之间的波函数ψ不叠加，因为电子之间的相位差不确定

## 单电子双缝干涉与探测

加入探测器后

### 条件概率

条件概率的答案

### 有探测器干涉的解释

电子之间的波函数ψ不叠加，因为电子之间的相位差不确定

### 双缝干涉的思考

# 波函数ψ干涉计算问题

电子干涉中波函数ψ不可区分，其为同时叠加

# 结束章节