高中我们是有介绍过概率的。但是当时并没有对概率这个概念进行公理化。这一期专栏我们就来用公理化方法讨论概率这一概念。

1.概率的研究对象

在谈概率前要先说明概率是研究哪样东西的。

1.随机试验

随机试验是满足以下三个条件的试验。

①相同条件下可重复进行。

就是说这个试验不是“可遇不可求”的。

②试验的结果是多样化的。

就是说试验需要有至少两个结果。比如说一个质点做自由落体运动就只有往下落这一种结果，这样的试验不属于随机试验。而像投骰子，结果可能是1可能是2可能是3。这样的试验就符合这个条件

③试验前就可以知道试验的所有可能结果。

还是以投骰子为例。投一次骰子的所有可能结果是1、2、3、4、5、6，我们在投之前就可以知道。

④试验前不能确定哪个结果会发生。

投骰子前我们不知道能投出什么结果对吗？这样的试验才符合这个条件。

2.样本空间与样本点

然后是样本空间。

我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。

我看到的教材是这么定义的。

百科也是这么说的

但我感觉把所有可能的结果改成所有可能的基本结果更好。

加上基本二字就强调了结果不可分。

没有这两个字。。。。。还是说投骰子吧。投出的结果是偶数好像也符合要求啊。但是偶数这个结果可以分为投出2、投出4、投出6，不属于基本结果。这样改一下我觉得更合适一些。不知你有何高见。

样本点就相应地改为随机试验E中的每一个可能的基本结果即样本空间的元素。(注意，样本集合是集合)

有时我们也用Ω或U表示样本空间。

3.随机事件

样本空间这个集合中的所有子集都称为随机事件。有时“偷懒”，会把随机事件简称为事件。但是严格的说，这样偷懒是不完全恰当的。

4.随机事件间的关系与运算

注意一下，随机事件是一个集合。随机事件间的关系很大程度上是集合间的关系。

A⊂B对应到随机事件上就是A的发生必然导致B。

A=B就是A发生B一定发生，B发生A一定发生。

AUB则称为A、B的和事件，也可以用A+B表示。

A∩B称为A、B的积事件，记作AB。

注意，在

中我们介绍了一个高中没教过的集合运算。补集的“升级版”差运算。

到随机事件这里，我们称A-B为A、B的差事件，指的是A发生且B不发生这个事件。以投骰子为例，设事件A为投出结果为偶数，事件B为投出6，则A-B为投出2或4。

补集对应的“随机事件”版本是对立事件。如果A并B是样本空间，A交B是空集，则称A和B互为逆事件，或称A的对立事件是B。

如果我们去除A并B是样本空间这个条件，只要求A交B为空成立，则此时A、B互斥。

用人话说，互斥事件不可能同时发生。对立事件属于互斥事件。对立事件相当于“原事件的反面”。

算了，上韦恩图吧。

至于它们的运算律，我以前讲集合的时候说过了，这里就不说了。

2.概率的公理化

现在我们终于可以将概率公理化了。

在说公理前我提示一下，概率可以看做是一个映射(或者称为集合函数)。它输入随机事件(集合)，输出实数。这个映射给每一个随机事件都赋予了一个实数，我们记为P(A)。P(A)称为A事件的概率。

好。

现在我们对概率这个映射做一些限制。这些限制是以公理的形式出现，不能直接证明。

1.非负性

对于任意的随机事件A来说，P(A)总是不小于0。

2.规范性

对于必然发生的事件S来说，P(S)=1。

3.可列可加性

这个说起来挺简单的，就是这个公式

设A1,A2,A3......是两两互不相容的事件，则有

注意：这仨兄弟是概率的定义。满足上面条件的映射称为概率。因此，在这个公理化体系中这仨兄弟不需要证明。

到这里才算是建立了概率的公理化体系。

但是这个体系还不够完善，它就只有一个框架。

下一期我们继续丰富这个体系，给这个体系添加一些定理，再引入一些概率模型，这样这个体系就相对完整了。

之后，我们还会研究随机变量的数字特征以及一些特殊的概率分布。

如果可能，以后说不定会介绍连续型随机变量和多维随机变量。