用泰勒公式解决2023厦门二检数学比大小选择题

2023年厦门二检数学比大小问题如图：

这种问题含有ln函数无法直接求解，但依旧可以使用泰勒展开法进行近似计算。关于泰勒公式的介绍请看这条动态。以下内容中 ^符号 表示取指数。

观察到选项中含有ln(2)和ln(3)。ln函数的常用特殊值有两个：ln(1)=0和ln(e)=1。其中e≈2.718。如果把ln(x)在x0=1处展开，则由于2-1=1和3-1=2都大于等于1，所以用这个展开式计算ln(2)和ln(3)并不能得到精度令人满意的估值(因为误差太大不可控)。所以只能退而求其次在x0=e处把ln(x)做泰勒展开。刚好e到2和3的距离都小于1，误差可控，估算精度可接受。

另f(x)=ln(x)，则：

f'(x)=1/x

f''(x)=-2/(x^2)

本题不需要保留三阶导数或以上的展开项，所以更高阶的导数就不写了。

将f(x)在x0=e处进行泰勒展开：

f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2

=ln(x0)+1/x0*(x-x0)-2/(x0^2)*(x-x0)^2

=ln(e)+1/e*(x-e)-2/(e^2)*(x-e)^2

=1+(x-e)/e-2*(x-e)^2/(e^2)

取e≈2.718。列竖式易得a≈1.0986。b和c带入展开式：

由于3距离e比较小（3-2.718=0.282），故泰勒展开估算ln(3)保留一阶导即可：

ln(3)≈1+(3-e)/e≈1.1037

由于2距离e比较大（2-2.718=-0.718，很接近上限1，本题其实保留一阶导也可，但这算下来误差较大，为7.76%），故保留二阶导项：

ln(2)≈1+(2-e)/e-2*(2-e)^2/(e^2)

≈1-0.26416-2*(2-e)^2/(e^2)

由于二阶导项2*(2-e)^2/(e^2)本身就比较小，为了方便起见可以进一步近似计算，取e≈2.7计算最后一项可得：

ln(2)≈1-0.26416-2*(2-2.7)^2/(2.7^2)≈1.11877

所以a<b<c。其中b估值的相对误差为0.4642%，而c的估值误差为1.6509%，都是工程上一般来说非常好的估算结果了。