“蚂蚁”曲线引发的探索

2023-06-15 23:13 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

思考源于此题：

一只蚂蚁绕圆柱从底端爬至顶端，恰好爬行了一周，问爬行的最短路径长？

原题很简单，只需将侧面展开，轨迹即从左下顶点到右上顶点，最短距离即两点间距离，勾股定理即得： $l_%7B%5Cmathrm%7Bmin%7D%20%7D%3D%5Cboxed%7B%5Csqrt%7B(2%5Cpi%20r)%5E2%2Bh%5E2%7D%20%7D$

而由于我是个魔怔的数学人(疯子)，因此即便一道简单题都有可能引发脑海中的一股飓风！

其中一个问题就是想将这个轨迹在坐标系中精确地绘制出来，于是有了以下的研究。

ps:先简单声明：此篇专栏与应试几乎无关，因此仅当给观众(主要为兴趣的数学爱好者)欣赏/探索所呈现

考虑先在侧面展开的平面图中画出轨迹：

嗯，b站没法直接编辑图片，这点机制倒没知乎好...

容易写出其参数方程： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D-%5Cpi%20r%2B2%5Cpi%20r%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Bt%7D%7D%20%20%5C%5C%0Ay%3Dh%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Bt%7D%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，其中参数 $t%5Cin%20%5B0%2C1%5D$

然后我们考虑将这一直线经过某种变换转化至空间直角坐标系中。因此我们需要找到这一变换，即找到平面(该矩形范围)内一点与(圆柱)侧面一点的一一映射关系 $(x_0%2Cy_0)%5Clongrightarrow%20(r%5Ccos%5Ctheta%2Cr%5Csin%5Ctheta%2Ch)$

其中有 $h%3Dy_0%2Cx_0%3Dr%5Ctheta$ ,于是输出点可表示为： $(r%5Ccos%5Cfrac%7Bx_0%7D%7Br%7D%20%2Cr%5Csin%5Cfrac%7Bx_0%7D%7Br%7D%2Cy_0)$

再根据参数方程有： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D-%5Cpi%20r%2B2%5Cpi%20r%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Bt%7D%7D%20%20%5C%5C%0Ay%3Dh%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Bt%7D%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ (即 $x_0%2Cy_0$ 随t变化的函数关系)

于是得到轨迹在空间中的参数方程： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3Dr%5Ccos%5Cfrac%7B-%5Cpi%20r%2B2%5Cpi%20r%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Bt%7D%7D%7D%7Br%7D%20%5C%5C%0Ay%3Dr%5Csin%5Cfrac%7B-%5Cpi%20r%2B2%5Cpi%20r%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Bt%7D%7D%7D%7Br%7D%20%5C%5C%0Az%3Dh%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7Bt%7D%7D%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，其中参数 $t%5Cin%20%5B0%2C1%5D$

ps:从轨迹方程还可看出该蚂蚁曲线是一条螺旋线

3D图：

有了这一成果，我们就可以把平面内的图像通过上述变换“贴”到侧面上了，比如贴个笑脸

取 $r%3D2%2Ch%3D8$

先在平面图中画出笑脸，其解析式如下：

$x%5E2%2B(y-5)%5E2%3D4$ ，对应参数方程： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20x%3D2%5Ccos%20t%5C%5C%0Ay%3D2%5Csin%20t%2B5%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%2Ct%5Cin%5B0%2C2%5Cpi%5D$ ;

$(x%2B1)%5E2%2B(y-5.4)%5E2%3D0.7%5E2(y%5Cgeqslant5.4)$ ，对应参数方程： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20x%3D0.7%5Ccos%20t-1%5C%5C%0Ay%3D0.7%5Csin%20t%2B5.5%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%2Ct%5Cin%5B0%2C%5Cpi%5D$ ;

$(x-1)%5E2%2B(y-5.4)%5E2%3D0.7%5E2(y%5Cgeqslant5.4)$ ，对应参数方程： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20x%3D0.7%5Ccos%20t%2B1%5C%5C%0Ay%3D0.7%5Csin%20t%2B5.5%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%2Ct%5Cin%5B0%2C%5Cpi%5D$ ;

$y%3D0.5x%5E2%2B4%2Cx%5Cin%5B-1%2C1%5D$ ，对应参数方程：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3Dt~~~~~~~~~~~~~%5C%5C%0Ay%3D0.5t%5E2%2B4%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%2Ct%5Cin%5B-1%2C1%5D$ ;

再利用上文所述的转化关系 $(x_0%2Cy_0)%5Clongrightarrow(r%5Ccos%5Cfrac%7Bx_0%7D%7Br%7D%20%2Cr%5Csin%5Cfrac%7Bx_0%7D%7Br%7D%2Cy_0)$ 分别变换得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D2%5Ccos%5Cfrac%7B2%5Ccos%20t%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0Ay%3D2%5Csin%5Cfrac%7B2%5Ccos%20t%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0Az%3D2%5Csin%20t%2B5%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%2Ct%5Cin%5B0%2C2%5Cpi%5D$

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D2%5Ccos%5Cfrac%7B0.7%5Ccos%20t-1%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0Ay%3D2%5Csin%5Cfrac%7B0.7%5Ccos%20t-1%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0Az%3D0.7%5Csin%20t%2B5.5%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%2Ct%5Cin%5B0%2C%5Cpi%5D$

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D2%5Ccos%5Cfrac%7B0.7%5Ccos%20t%2B1%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0Ay%3D2%5Csin%5Cfrac%7B0.7%5Ccos%20t%2B1%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0Az%3D0.7%5Csin%20t%2B5.5%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%2Ct%5Cin%5B0%2C%5Cpi%5D$

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D2%5Ccos%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0Ay%3Dr%5Csin%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0Az%3D0.5t%5E2%2B4%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%2Ct%5Cin%5B-1%2C1%5D$

3D图：

从侧俯视图可看出于是笑脸轨迹是被“贴”在圆柱面上的，于是笑脸就“贴”好了

ggb:数学软件兼绘画软件[滑稽]

画了圆柱中的“蚂蚁”曲线，下面再来画圆锥中的“蚂蚁”曲线

一只蚂蚁绕圆锥从底端绕一周爬回原位，问爬行的最短路径长？

设圆锥的底面半径，高，母线分别为 $r%2Ch%2CL$ ，有 $r%5E2%2Bh%5E2%3DL%5E2$

圆锥侧面展开图中，圆心角 $%5Calpha%20%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20r%7D%7BL%7D%20$ ，于是最短距离为：

$l_%7B%5Cmathrm%7Bmin%7D%20%7D%3D2L%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%20%3D%5Cboxed%7B2L%5Csin%20(%5Cfrac%7B%5Cpi%20r%7D%7BL%7D%20)%7D$

当然，这个就要要求 $%5Calpha%3C%5Cpi$ 了，否则沿着母线爬上顶再爬回才是最短的

在平面坐标系中，设初始位置为 $(L%2C0)$ ，末位置为 $(L%5Ccos%5Calpha%20%2CL%5Csin%5Calpha)$

考虑到扇形用半径和圆心角两个两较好表示，于是用极坐标表示该轨迹(直线)：

$%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Crho%20%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7BL%5Csin%20%5Calpha%20%7D%7B(1-%5Ccos%20%5Calpha%20)%5Csin%20%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%20%2B%5Csin%20a%5Ccos%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%20%7D%20%2C%5Ctheta%20%5Cin%5B0%2C%5Calpha%5D$

同样，我们需要找到 $(%5Crho%20%2C%5Ctheta%20)%5Cto%20((-%5Cfrac%7Br_0%7D%7Bh_0%7Dh%2Br_0)%5Ccos%20%5Cbeta%20%20%2C(-%5Cfrac%7Br_0%7D%7Bh_0%7Dh%2Br_0)%5Csin%20%5Cbeta%20%20%2Ch)$ 间的映射关系

ps:此处 $h%2C%5Cbeta%20$ 表圆锥曲面(侧面)的两个参数(变量)， $r_0h_0$ 分别为圆锥的半径和高

其中有 $%5Cbeta%20%3D%5Cfrac%7BL%5Ctheta%20%7D%7Br%7D%20$ ( $L%5Ctheta%20$ 为此时扇形圆心角所对弧长，再除以r即得此时在空间中绕轴转过的角)

$h%3D%5Cfrac%7BL-%5Crho%20%7D%7BL%7D%20h_0$ ( $%5Cfrac%7BL-%5Crho%20%7D%7BL%7D$ 即距底面圆锥距离与母线长的比值，在空间中根据相似可得，该比值等于此时的高度与圆锥高的比值)

于是得到轨迹在空间中的参数方程：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D(-%5Cfrac%7Br_0%7D%7Bh_0%7D%5Cfrac%7BL-%5Cfrac%7BL%5Csin%20%5Calpha%20%7D%7B(1-%5Ccos%20%5Calpha%20)%5Csin%20%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%20%2B%5Csin%20a%5Ccos%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%20%7D%20%7D%7BL%7D%20h_0%2Br_0)%5Ccos%20%5Cfrac%7BL%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%7D%7Br_0%7D%20%20%5C%5C%0Ay%3D(-%5Cfrac%7Br_0%7D%7Bh_0%7D%5Cfrac%7BL-%5Cfrac%7BL%5Csin%20%5Calpha%20%7D%7B(1-%5Ccos%20%5Calpha%20)%5Csin%20%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%20%2B%5Csin%20a%5Ccos%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%20%7D%20%7D%7BL%7D%20h_0%2Br_0)%5Csin%20%5Cfrac%7BL%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%7D%7Br_0%7D%20%5C%5C%0Az%3D%5Cfrac%7BL-%5Cfrac%7BL%5Csin%20%5Calpha%20%7D%7B(1-%5Ccos%20%5Calpha%20)%5Csin%20%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%20%2B%5Csin%20a%5Ccos%7B%5Ccolor%7BGreen%7D%20%7B%5Ctheta%20%7D%7D%20%7D%20%7D%7BL%7D%20h_0%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，其中参数 $%5Ctheta%20%5Cin%5B0%2C%5Calpha%5D$