[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第一章：二次曲线的诸基本性质1.3(III)

练习3. 考虑一系列共焦的(confocal)二次曲线，即焦点都相同的二次曲线．求证其中的任意双曲线与任意椭圆之间夹角都为直角（曲线之间的夹角指两曲线交点处切线的夹角；见图1.13）

解答. 设焦点都为和的一椭圆与一双曲线的其中一个交点为．那么该点上两曲线的切线分别为外角和内角的角分线．两线自然也就相互垂直．

定理1.2. 若弦过椭圆的一焦点，为、处的两切线交点．则有为的旁切圆圆心，且为该圆与边的切点，其中为椭圆另一焦点（图1.14）．

证明. 由光学性质，有与为的两外角角分线交点，即为的旁心．而在处的切点、以及将周长分为相等的两部分，即．又由为其上唯一满足此关系的点，故，重合．

推论. 连接一焦点及过该焦点的弦两端处切线交点的直线垂直于该弦．

（译者注：其实就是图1.14中的．另外，原文就这么拗口......）

       对于双曲线，定理1.2依然成立，只不过旁切圆会变为内切圆．

（译者注：这里注意切点要取在双曲线的同一支．虽然这个证明不难得到，但由于1.3(III)行文至此才400字出头，为避灌水之嫌还是来演示一下吧．

命题. 设内弦过双曲线一焦点，双曲线过、两点的切线交于点，则有为的内切圆圆心，且为与该圆的切点（图d）．

证明. 由光学性质，有为的两角角分线交点，即为的内心．而由内心性质，有，其中为与的切点．而为上唯一满足此条件的点，故命题得证．）