论狗熊掰棒子

想写这些东西是因为水群的时候有人po出一道题：

太长/太乱不看版：

对于高为三的圆锥pomusetsu来说，当pomu圆锥的体积占pomusetsu圆锥的体积八分之一时，pomu的高是多少。

当看到这是第四道选择题而我第一时间没想到答案是多少的时候，莫名的胜负欲便燃了起来。适逢复活节放假，手头没有要紧事便写了起来。

第一个想法便是积分，圆锥可以看作是三角形绕直角边转个2π形成的。那么对于绕一个边转动求体积这个问题来说，可以使用公式：

对于解决问题来说只需要将三角形以函数f(x)的形式描述出来就可以了。

对于圆锥pomusetsu来说，可以看作它是由底边为圆锥pomusetsu的半径，高度为三的三角形：

将它逆时针旋转九十度躺在x轴上，顶点放在原点上，易得其斜边表达式f(x)为：

众所周知，圆锥的体积公式为：

连立两个公式求解圆锥pomu高：

已知h为三：

感谢马门为这个想法投入的思考。

我一开始的想法是三重积分硬算体积，但是在写了三张纸还发现不知道哪里抄错了导致结果完全不知所云遂放弃这个想法，还是从定积分下手比较简单。

对于圆锥来说，其可以看作由无穷多个半径逐渐变小的同心的圆柱堆叠：

（感谢汉诺塔让我不用再画一个示意图）

对于同心圆们的半径来说，其随高度线性递减，所以可以表示为：

对于圆锥pomu来说，它的半径就是：

(x为圆锥pomu的底所在的高度)

只需要将这个关系再套一遍，即可得到圆锥pomu的半径随高度变化的表达式：

众所周知圆柱的体积为：

所以圆锥pomu的无限矮的圆柱们的集合可以表示为：

便可以表达为积分式：

将这个积分式层层剥开：

拆分化简可得：

通过现代科技的帮助可解x得：

答案为 3-x。

就在我们感叹怎么第四道选择题这么麻烦的时候，来自rin师傅的几句话让琢磨积分的人成了小丑：

呃

我是弱智。