3007年幼升小（全球小学招生统一考试）：数理部分

2023-08-23 19:28 作者:Barry_吴 0人读过 | 我要投稿

注意事项

$%5Cfrac%7B%5Csqrt5-1%7D2%20$ ：考前请自行反思为什么31世纪的幼升小考试没有文史部分。

ln2：非应届考生可通过黄渤主演的电压《学爸》来体验31世纪的幼升小的压力。

$%5Cfrac%7B%5Csqrt2%7D2%20$ ：若对该考试没有信心，可考虑走毕业设计、自主招生或特长生等渠道升入小学。

1：本次考试共有14题，满分100分，考试时间为2地球时。

2：不同物种或同一物种但形式不同的生物需在不同的考场进行考试。

e：考试时请勿携带任何考试资料和通信工具，答题前需扫描身份证和准考证。

3：从今年起，幼儿园学段将开始教授概率论与数理统计相关知识。

π：在幼儿园学段中，物理、化学等科学技术类科目被归入数学科目进行考试。

4：开考后请在题目面板上浏览题目，并在答题面板上作答。

5：若需手写请使用答题面板上配备的电子笔，若需计算则使用答题面板中的计算器即可。

6：选择题和填空题中只需补全【____】形区域的内容，其它题型则需根据题目指引作答。

2π：若选择题未标明是单项选择题还是多项选择题，则它为不定项选择题。

7：若考试过程中遇到文字、公式或图片显示不正常等问题，可以尝试按刷新按钮。

e²：考试过程中，若考生发现设备故障、题目不良等问题或有其它需求，请联系监考老师。

8：若完成附加题将酌情加分，但加分不超过10分，加分后总分不超过第1条中的限额。

9：答题完成后请勿离开座位，待考试结束时，答题面板上的答案被自动提交后才可离开。

3π：本次考试的成绩将作为本年度小学招生和录取时的参考依据。

10：未考到的数理科目或考点代表幼儿园阶段不教授，在小学阶段及以后教授。

题目

【第1题填空题 6分】

如下图所示，有一长为L、线密度为λ的均匀细棒。若在其一端的延长线上，离端点距离为a处有一质量为m的质点，则质点的引力势能为【____】。

【第2题解答题 10分】

设 $A%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Cmathrm%7Bm%5Ctimes%20n%7D%7D$ ，且存在 $X%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%5Ctimes%20m%7D$ ，使得对每一个 $%7B%5Cvec%7Bb%7D%7D%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5Em$ ， $%5Cvec%7Bx%7D%3DX%5Cvec%7Bb%7D$ 均极小化 $%7C%7CA%5Cvec%7Bx%7D-%5Cvec%7Bb%7D%7C%7C_%7B2%7D$ . 证明 $AXA%3DA$ 和 $(AX)%5E%7BT%7D%3DAX$ .

【第3题填空题 4分】

$f(x)%3Dx%5E%7B3%7D%2B3x%5E%7B2%7D-2x%2B4$ 在 $x_%7B0%7D%3D-1$ 处的泰勒展开式为【____】。

【第4题填空题 6分】

若f''(x)在[0,π]上连续，且f(0)=2，f(π)=1，则 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Cleft%5Bf(x)%2Bf''(x)%5Cright%5D%5Csin%20x%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D$ 【____】。

【第5题填空题 6分】

《喜羊羊与灰太狼：古古怪界大作战》中有一种道具叫阴阳离子球。假设阳离子球放在羊村，其半径为 $R_1$ ，所带电荷量为 $q_1$ ；阴离子球放在狼堡，其半径为 $R_2$ ，所带电荷量为 $q_2$ 。之后，潇洒哥和黑大帅将两球用导线连接，慢羊羊村长解释说，两球相距很远，且导线很长，两球上电荷仍可视为均匀分布。此时，两球上电荷的面密度分别为 $%5Csigma_1%3D$ 【____】和 $%5Csigma_2%3D$ 【____】。

【第6题填空题 6分】

设 $f(x)%3D%5Cbegin%7Bcases%7Dx%2C%26x%5Cin%5B0%2C%5Cfrac12)%5C%5C2-2x%2C%26x%5Cin%5B%5Cfrac12%2C1)%5Cend%7Bcases%7D$ ， $S(x)%3D%7B%5Cfrac%7Ba_%7B0%7D%7D%7B2%7D%7D%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bn%7D%5Ccos%20n%5Cpi%20x%2Cx%E2%88%88R$ ，其中 $a_%7Bn%7D%3D2%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7Df(x)%5Ccos%7Bn%5Cpi%20x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx$ ，n∈N。结合傅里叶级数求 $S%5Cleft(-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Cright)%3D$ 【____】。

【第7题填空题 4分】

在传播速度为100m/s、频率为50Hz的平面简谐波的波线上，相距为0.5m的两点之间的相位差是【____】。

【第8题填空题 4分】

若 $%5Cvarphi(x)%3D2%5E%7Bx%7D%2C%5Cvarphi(x)%3D2%5E%7Bx%7D-3x$ 是差分方程 $y_%7Bx%2B1%7D%2Bp(x)y_%7Bx%7D%3Df(x)$ 的两个特解，则p(x)=【____】，f(x)=【____】。

【第9题解答题 6分】

设D为四条曲线y=x，y=4x，xy=1，xy=4在第一象限所围成的区域，∂D为D的正向边界。又设函数F(u)是具有一阶连续导数，且f(u)=F'(u)。证明 $%5Cint_%7B%5Cpartial%20D%7D%5Cfrac%7BF(xy)%7D%7By%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dy%3D%5Cln2%5Cint_%7B1%7D%5E%7B4%7Df(u)%5Cmathrm%7Bd%7Du$ 。

【第10题填空题 16分】

种小小的函数，开大大的麦克劳林级数；种什么样的级数，开什么样的定义域。

（1） $%5Ccos%5E2x%3D$ 【____】。

（2） $x%5E3e%5E%7B-x%7D%3D%20$ 【____】。

（3） $%5Cfrac12(e%5Ex-e%5E%7B-x%7D)%3D$ 【____】。

（4） $%5Cfrac1%7B(x-1)(x-2)%7D%3D$ 【____】。

（5） $%5Cfrac1x%5Cln(1%2Bx)%3D$ 【____】。

（6） $%5Cln(1%2Bx-2x%5E2)%3D$ 【____】。

（7） $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%3D$ 【____】。

（8） $%5Carcsin%20x%3D$ 【____】。

【第11题阅读理解题 8分】

阅读以下材料并回答问题。

蔡徐坤和尻比·不来尻♂特在某商场的一投篮机前比赛投篮，他们约定的比赛规则如下：若投中则可再投一球，若未投中则换对方投篮。蔡徐坤投篮的命中率为60%，尻比投篮的命中率为80%。由投币决定第一次谁投篮，若硬币正面朝上则蔡徐坤先投，反面朝上则尻比先投，其余情况则结束比赛。

记前n次投篮中蔡徐坤投篮的次数为X，则E(X)=【____】。

【第12题单项选择题 8分】

设 $X_1%2CX_2...X_n$ 独立同分布，且 $E(X_i%5Ek)%3D%5Cmu_k$ 。用切比雪夫不等式估计： $P%5Cleft%5C%7B%5Cleft%7C%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D-%5Cmu_%7B1%7D%5Cright%7C%5Cgeq%5Cvarepsilon%5Cright%5C%7D%E2%89%A4$ 【____】。

【A】 $%5Cfrac%7B%5Cmu_4-%5Cmu_2%5E2%7D%7Bn%5Cvarepsilon%5E2%7D$ 【B】 $%5Cfrac%7B%5Cmu_4-%5Cmu_2%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%5Cvarepsilon%5E2%7D$ 【C】 $%5Cfrac%7B%5Cmu_2-%5Cmu_1%5E2%7D%7Bn%5Cvarepsilon%5E2%7D$ 【D】 $%5Cfrac%7B%5Cmu_2-%5Cmu_1%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%5Cvarepsilon%5E2%7D$

操作题

【第1题操作题 8分】

答题面板中将出现Foldit小程序，请根据提示调整一段肽链的R基，使之形成3组或以上的氢键或二硫键。若肽链的点数达到8550点或以上，则该题可得满分，否则每少100点将扣1分，当肽链点数少于7550点时该题不得分。

【第2题操作题 8分】

答题面板中将出现LeetCode小程序，请挑选一种自己喜欢的编程语言作答。编写函数invertTree(root)，当给它一棵二叉树的根节点root时，它将翻转这棵二叉树，并返回其根节点，如下图所示。

测试所用的树的节点数目范围为0~100，每个节点的值为-100~100之间的整数。本题得分将由结果的测试通过率决定。以C++为例，答题区域与相关定义如下所示，请勿改动非作答区域的代码，否则此题将不得分。提交代码前可以使用自动或手动生成的测试案例进行测试。

附加题

【选做题单项选择题】

（1）已知菱形ABCD是攻，矩形PQRS是受，则CP表达了点【____】的思乡之情。

【A】A 【B】B 【C】C 【D】D

（2）第5小问的答案是【____】。

【A】C 【B】D 【C】A 【D】B

（3）第【____】小问的答案与其它三个选项所代表的小问的答案不同。

【A】3 【B】6 【C】2 【D】4

（4）第【____】两小问的答案相同。

【A】1和5 【B】2和7 【C】1和9 【D】6和10

（5）第【____】小问的答案与此问相同。

【A】8 【B】4 【C】9 【D】7

（6）第【____】两小问的答案与第8问相同。

【A】2和4 【B】1和6 【C】3和10 【D】5和9

（7）附加题的正确答案中，出现最少的选项是【____】。

【A】C 【B】B 【C】A 【D】D

（8）第【____】小问的答案和第1问的答案在字母顺序上不相同或相邻。

【A】7 【B】5 【C】2 【D】10

（9）第1、6小问和第【____】、5小问中，只有一对是答案相同的。

【A】6 【B】10 【C】2 【D】9

（10）在附加题的答案中，出现最多和出现最少的选项的出现次数之差为【____】。

【A】3 【B】2 【C】4 【D】1

参考答案

1： $Gm%CE%BB%5Cln%5Cfrac%20a%7Ba%2BL%7D$

2：提示：结合最小二乘法可将其化简成 $A%5ETAX%5Cvec%20b%3DA%5ET%5Cvec%20b$ 。

3： $8-5(x%2B1)%2B(x%2B1)%5E%7B3%7D$

4：3

5： $%5Csigma_1%3D%5Cfrac%7B(q_%7B1%7D%2Bq_%7B2%7D)%7D%7B4%5Cpi%20R_%7B1%7D%5Cleft(R_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D%5Cright)%7D%2C%5Csigma_2%3D%5Cfrac%7B(q_1%2Bq_2)%7D%7B4%5Cpi%20R_2%5Cleft(R_1%2BR_2%5Cright)%7D$

6： $%5Cfrac34$

7： $%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D$

8： $p(x)%3D-1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%2Cf(x)%3D2%5E%7Bx%7D%5Cleft(1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5Cright)$

9：提示：先使用格林公式，然后使用牛顿-莱布尼茨公式。

10：

（1） $1%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B(-1)%5En2%5E%7B2n-1%7D%7D%7B(2n)!%7Dx%5E%7B2n%7D%2Cx%E2%88%88R$

（2） $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bn%7D%7D%7Bn!%7Dx%5E%7Bn%2B3%7D%2Cx%E2%88%88R$

（3） $%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B2n-1%7D%7D%7B(2n-1)!%7D%2Cx%E2%88%88R$

（4） $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft(1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%2B1%7D%7D%5Cright)x%5E%7Bn%7D%2Cx%E2%88%88(-1%2C1)$

（5） $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7Dx%5E%7Bn%7D%2Cx%E2%88%88(-1%2C1%5D$

（6） $%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bn%2B1%7D2%5E%7Bn%7D-1%7Dnx%5E%7Bn%7D%2Cx%E2%88%88(-%5Cfrac12%2C%5Cfrac12%5D$

（7） $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(2n-1%5Cright)!!%7D%7B2%5E%7Bn%7Dn!%7Dx%5E%7B2n%2B2%7D%2Cx%E2%88%88(-1%2C1)$

（8） $1%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B(-1)%5En2%5E%7B2n-1%7D%7D%7B(2n)!%7Dx%5E%7B2n%7D%2Cx%E2%88%88R$

11： $%5Cfrac%20n3%2B%5Cfrac5%7B18%7D-%5Cfrac19%5Cleft(%5Cfrac25%5Cright)%5E%7Bn-1%7D$

12：C，提示：切比雪夫不等式为 $P(%7CX-E(X)%7C%5Cgeq%5Cvarepsilon)%5Cleq%5Cfrac%7BD(X)%7D%7B%5Cvarepsilon%5E%7B2%7D%7D$

操作题1：略

操作题2：提示：使用递归将每个节点的左右指针交换即可。

附加题：BCACACDABA

标签：数学

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操作题

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