CG仿真及3D特效编程教程（一）| CG Simulation总览及基础数学概念回顾

前言

“What will matter is what you learned and how you used it.”这是本系列教程前，我们想对大家说的，希望本次系列教程能够对喜欢图形学的虹图AI开放平台的开发者有所帮助。当然同时也为了推广我们虹图继美颜SDK特效后推出的3D Avatar SDK。

最近上映的大型中国古代神话电影封神第一部，不禁感叹这几年CG的飞速发展，让观众在享受观感的同时已经很难区分特效和现实了。大型游戏也早已从2D转为3D，并且伴随酷炫的特效，就连音视频中的特效也不再满足于美颜、贴纸，而是向元宇宙靠拢的3D化特效。而本系列教程，就围绕仿真（Simulation）和3D特效编程（3D Programming）。

这个过程中涉及到的大多是很枯燥的理论和公式，需要有好的代数、几何、少量微积分基础。本系列预计会分为3-4篇幅，会整体讲述3D坐标变换、牛顿法求非线性方程根、逆向运动学、功能性动效、碰撞、脉冲动量、反弹、3D粒子系统等。另外，这并不是一个图形学编程的教程，但是其中会有一些图形学代码框架用来才是我们的代码，如果是寻找图形学编程系列教程，可以关注我们另一系列关于OpenGL和Vulkan的教程。

那现在我们就从最基础分析3D世界的参数方程开始吧。

参数方程

直线方程相信大家都很熟悉，y = ax + b，但是这个表达方式并不适用于图形学和仿真3D编程。首先这个只能代表无穷直线，而不是一条有限长度的线段，其次这是2D的表达，而不是3D。这里会有人说，那么z = ax + by + c不就是3D的吗？这个是平面方程也不是空间直线方程，可以去额外了解下，这里不做赘述。

空间直线的参数方程，如下图所示，P0（X0，Y0，Z0），P1（X1，Y1，Z1），那么参数方程这样表达：

当然，也可以换一种表达，都是同一个意思：

线性融合Liner Blending

在计算机图形学相关的应用里，线性融合是个常用的方式，比如在图像、颜色、形状、位置、旋转角度等方面。我们基于以下公式进行线性融合计算：

还可以使用双线性融合，其核心思想就是从两个方向分别进行一次线性融合，例如在四边形内做双线性融合：

先线性融合Q00和Q10形成的线段A，再融合Q01和Q11形成的线段B，然后进行线段A和线段B的二次线性融合，得出以下：

当然，还可以进行三线性融合，例如在立方体里进行：

向量

这个部分应该大家还是比较熟悉的，但是还是不厌其烦再介绍一下吧。首先向量是有方向和大小的，它可以形象化成带箭头的线段，箭头就是方向，长度就是大小。

方向就是箭头所示，大小就是：

另外还有单位向量，模等于1的向量，也就是一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。

下面再引入两个能勾起大家回忆的概念，向量积和向量的积，或者换个说法，向量点乘和向量叉乘，类似不同的叫法还有很多。

这是向量点乘，也叫标量积Scalar Product。这个经常用于计算A向量在B方向的值大小，因为它是向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积。

这是向量叉乘，也叫适量积Vector Product。叉乘后的方向遵守右手定则：

也正是由于遵循右手定律，叉乘所以不具备交换律：

叉乘在计算机图形学中应用就比较广泛了，比如计算垂直于某一平面的向量，也就是法线向量：

而这通常在CG光照中经常被使用。

OpenGL Mathematics（GLM）

最后再介绍下后续我们会用到的GLM。GLM是OpenGL中在进行图形变换的时候需要使用几何数学库，但它其实不是真实的库的形式，而是.hpp头文件参与源码编译的，可以在这个链接下载：https://github.com/g-truc/glm。

我们可以这样引入GLM：

当然也可以只引入你需要的头文件,下面是如何使用GLM的一些例子：

关于GLM配置方面问题，网上也有不少参考资料，当然也基于具体是win系统还是Linux系统，有问题也可以私信联系。

本期教程属于预热一些基础知识，把必要的概念和GLM先介绍给大家，后续会进一步深入，一起探索仿真和3D编程相关内容。欢迎大家关注虹图AI开放平台公众号获取更多内容，也请大家多多关注我们新发布的美颜SDK产品和3D Avatar SDK产品。

敬请期待~