【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep71】实数完备性第六波定理互推（上）

=我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。

我们在Ep61介绍了“实数完备性”的第三个定理——“闭区间套定理”：

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

我们在Ep66介绍了“实数完备性”的第四个定理——“柯西准则”——

条件：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

结论：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

今天我们来从“闭区间套原理”推导“柯西准则”。

充要条件，必然证明分为必要性和充分性两部分——

a.必要性：用数列极限的定义证明即可。

b.充分性——

已知：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

求证：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

工具：闭区间套定理——

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

分析：证明的关键是闭区间套的构造，利用柯西列的性质固定一端。

证明——

step1：构造闭区间套——

1. 已知，存在自然数N1'，当n>N1'且n'>N1'时，有|xn-xn'|<1，取N1=N1'+1>N1'，即有|xn-xN1|<1，即xN1-1<xn<xN1+1，令a1=xN1-1，b1=xN1+1，得到区间I1=[a1，b1]包含数列第N1项之后所有项；

2. 存在自然数N2'，当n>N2'且n'>N2'时，有|xn-xn'|<1/2，取N2=max{N1'，N2'}+1>=N2'，即有|xn-xN2|<1/2，即xN2-1/2<xn<xN2+1/2，令a2=xN2-1/2，b2=xN2+1/2，得到区间I2=[a2，b2]包含数列第N2项之后所有项；

3. 以此类推，……；

4. 存在自然数Nk'，当n>Nk'且n'>Nk'时，有|xn-xn'|<1/2^（k-1），取Nk=max{Nk-1'，Nk'}+1>Nk'，即有|xn-xNk|<1/2^（k-1），即xNk-1/2^（k-1）<xn<xNk+1/2^（k-1），令ak=xNk-1/2^（k-1），bk=xNk+1/2^（k-1），得到区间Ik=[ak，bk]包含数列第Nk项之后所有项；

5. 对任意自然数k，Ik必然为Ik-1的子集，即ak=xNk-1/2^（k-1）>=xNk-1-1/2^（k-2）=ak-1，且bk=xNk+1/2^（k-1）<=xNk-1+1/2^（k-2）=bk-1——

   （反证法）如果ak=xNk-1/2^（k-1）<xNk-1-1/2^（k-2）=ak-1，则bk=xNk+1/2^（k-1）=xNk-1/2^（k-1）+1/2^（k-2）<xNk-1-1/2^（k-2）+1/2^（k-2）=xNk，导出矛盾，则将上述操作无穷循环下去，得到一个闭区间套的无限序列——Im=[am，bm]；

6. 又对于任意小数ε>0，存在自然数M=log2 [1/ε]+2,m>M时，bm-am=[xNm+1/2^（m-1）]-[xNm-1/2^（m-1）]=1/2^（m-2）<1/2^（M-2）=ε，即lim（bm-am）=0；

7. 由闭区间套定理，这些闭区间存在唯一公共点x。

step2：证明x为数列{xn}极限——

1. 对于任意自然数m，Im包含数列第Nm项之后所有项；

2. 对于任意自然数m，Im包含x；

3. 由1，2，对于任意小数ε>0，存在自然数M=log2 [1/ε]+2,m>M时，|xn-x|<=bm-am=[xNm+1/2^（m-1）]-[xNm-1/2^（m-1）]=1/2^（m-2）<1/2^（M-2）=ε，即lim（xn-x）=0，lim xn=x，证毕。

先这样！