高二还不会用和差化积解题？（一道题教会和差化积使用思路）

来自一道作业题

先上标准答案

答案思路：消元，转化为函数算

能做吗？

能

计算量呢？

还行，不算特别大，但是考场上容易算错不是吗？

但是我们换一种想法，如果把题目给的式子变成乘积形式，就可以导出α，β的关系，形式也许会更好，于是有了如下解法：

sinβ=-cos（β+π/2）=cos（2α+β）

移项有cos（2α+β）+cos（β+π/2）=0

运用和差化积，

2cos（α+β+π/4）cos（α-π/4）= 0

因为α属于（0，π/4），所以cos（α-π/4）≠0

从而cos（α+β+π/4）= 0

由α，β范围分析得α+β=π/4

所以tan（α+β）= 1

1-tanαtanβ=tanα+tanβ

凑乘积形式：

（tanα+1）（tanβ+1） =  2

所以原式=3（tanα+1）+2（tanβ+1）-5

≥4✓3-5

当且仅当tanα=tanβ，α=β=π/8时等号成立

以上