偷偷使用三角形面积的坐标算法（2020课标Ⅲ圆锥曲线）

2022-08-08 12:11 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2020课标Ⅲ，20）已知椭圆 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B25%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bm%5E2%7D%3D1$ （ $0%3Cm%3C5$ ）的离心率为 $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B15%7D%7D%7B4%7D$ ， $A$ 、 $B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点.

（1）求 $C$ 的方程；

（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x%3D6$ 上，且 $%5Cleft%7C%20BP%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20BQ%20%5Cright%7C$ ， $BP%5Cbot%20BQ$ ，求 $%5Cbigtriangleup%20APQ$ 的面积.

解：（1）由题可知 $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B25-m%5E2%7D%7D%7B%5Csqrt%7B25%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B15%7D%7D%7B4%7D$ ，

解得 $m%5E2%3D%5Cfrac%7B25%7D%7B16%7D$ ，

所以 $C$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B25%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B%5Cfrac%7B25%7D%7B16%7D%7D%3D1$ ，

或者，化简一下： $x%5E2%2B16y%5E2%3D25$ .

（2）设直线 $x%3D6$ 与 $x$ 轴交于 $H$ ，

过 $P$ 作 $PG%5Cbot%20x$ 轴，垂足为 $G$ ，

由题可知： $%5Cbigtriangleup%20PGB%5Ctext%7B%E2%89%8C%7D%5Cbigtriangleup%20BHQ$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20PG%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20BH%20%5Cright%7C%3D1$ ，

即 $%5Cleft%7C%20y_P%20%5Cright%7C%3D1$ .

如图，有两种情形，

情形1：

情形2：

相应的， $%5Cbigtriangleup%20APQ$ 的形状亦有两种情形，

情形1：

情形2：

延长 $AP$ ，交直线 $x%3D6$ 于点 $M$ ，

因为 $%5Cbigtriangleup%20MHA%5Ctext%7B%E2%88%BD%7D%5Cbigtriangleup%20PGA$ ，

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20MH%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20PG%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%7D$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20MH%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20PG%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%7D$ ，所以

$%5Cleft%7C%20QM%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C-%5Cleft%7C%20MH%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C-%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20PG%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%7D$ .

所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09S_%7B%5Cbigtriangleup%20APQ%7D%26%3DS_%7B%5Cbigtriangleup%20AMQ%7D-S_%7B%5Cbigtriangleup%20PMQ%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20QM%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20QM%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20GH%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20QM%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C-%5Cleft%7C%20GH%20%5Cright%7C%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20QM%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C-%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20PG%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C-%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20PG%20%5Cright%7C%20%5Cright)%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20BG%20%5Cright%7C-%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20BH%20%5Cright%7C%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5B%20%5Cleft(%20x_P%2B5%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%205-x_P%20%5Cright)%20-11%5Ctimes%201%20%5Cright%5D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%2025-x_%7BP%7D%5E%7B2%7D-11%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%2016y_%7BP%7D%5E%7B2%7D-11%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes%20%5Cleft(%2016%5Ctimes%201%5E2-11%5Ctimes%201%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

一些超纲说明：由于

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09S_%7B%5Cbigtriangleup%20APQ%7D%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20%5Coverrightarrow%7BAP%7D%5Ctimes%20%5Coverrightarrow%7BAQ%7D%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20%5Cleft(%20x_P-x_A%2Cy_P-y_A%20%5Cright)%20%5Ctimes%20%5Cleft(%20x_Q-x_A%2Cy_Q-y_A%20%5Cright)%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20%5Cleft(%20x_p-x_A%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y_Q-y_A%20%5Cright)%20-%5Cleft(%20x_Q-x_A%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y_P-y_A%20%5Cright)%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C-%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%20%5Cleft%7C%20PG%20%5Cright%7C%20%5Cright%7C%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20AG%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C-%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%20%5Cleft%7C%20PG%20%5Cright%7C%20%5Cright)%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以红字部分相当于已经推导出了三角形面积的坐标算法.

但由于没有直接套公式，所以不算超纲.

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