向量的除法（修改版）
注：自行定义和理解，并没有官方解释。
前言：向量的除法并没有官方定义，接下来根据个人理解进行理解定义探究：（加黑体字母为向量）
（1）向量除法解释：（暂且叫做数量商）
我们可以类比复数的除法，将其“分母”有理化，我们知道两个向量相除的难点在于方向的统一化，我们知道向量的数量积计算也是由方向的统一来定义的，那么，我们用高中必修二教材的一个方法来进行推论：
令：a=(x₁，y₁),b=(x₂，y₂),i,j为单位向量
则：a=x₁i+y₁j,b=x₂i+y₂j。
那么：a/b=(x₁i+y₁j)/（x₂i+y₂j）,上下同乘（x₂i+y₂j），因为i×j=0,i×i=j×j=1,原式化简为: （x₁x₂+y₁y₂）/（x₂²+y₂²），即：a/b=（x₁x₂+y₁y₂）/（x₂²+y₂²）
这也就是说：两个向量的数量商的对应坐标等于他们对应坐标的积除以分母向量的模的平方。
（2）向量的除法公式推理：
前面我们用向量的坐标表示来推理了向量数量商的定义，那么我们将坐标对应成向量的除法公式：
设有a和b向量由（1）中的坐标表示可以推断：a/b=(a∙b)/(|b|²)=(|a||b|cosθ)
/(|b|²)=(|a|cosθ)/(|b|)。
这也就是说：两个向量的数量商等于分子向量的模在分母向量的投影与分母向量的模的商。
如上图所示：
（3）向量数量商的性质
根据向量数量商的定义，我们可以推断以下重要性质：
①a⟂b⟺ a/b=0
②当a与b同向：a/b=|a|/|b|,当a与b反向：a/b=-|a|/|b|。
③此外：|cosθ|≤1，则|a/b|≤|a|/|b|
（4）向量数量商的运算律
根据向量数量商的定义，我们可以推断以下运算律成立：
a/b=1/（b/a）
a/ℷb=（1/ℷ）∙（a/b）〔交换律〕
(a+b)/c=(a/c)+(b/c)〔分配律〕
（5）倒数向量的计算
我们探究了向量的数量商的一些性质，但是我们常常会遇到形如1/b的形式，我们给它一个定义，叫它倒数向量，接下来，我们来研究探索倒数向量的性质：
令：a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂),1/b=(ℷ，ų)，那么由数量积的定义a∙（1/b）=x₁ℷ+y₁ų， 又因为a/b=（x₁x₂+y₁y₂）/（x₂²+y₂²），则x₁ℷ+y₁ų=（x₁x₂+y₁y₂）/（x₂²+y₂²），通过整理解出ℷ=x₂/（x₂²+y₂²），ų=y₂/（x₂²+y₂²）。
即，若b=(x₂，y₂)，那么1/b=（x₂/〔x₂²+y₂²〕,y₂/〔x₂²+y₂²〕)
（注：小括号里面有中括号是为了区分。）
且易得|1/b|=1/|b|（通过上文推出）
这就是说：b对应的倒数向量1/b的坐标等于原坐标分别除以|b|²。
我们知道b/|b|=e=（x₂/√〔x₂²+y₂²〕，y₂/√〔x₂²+y₂²〕），并且根据前面推理还可知道|b|/b=（x₂/√〔x₂²+y₂²〕，y₂/√〔x₂²+y₂²〕），所以b/|b|=|b|/b。
（6）倒数向量的运算
令：a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)。
由（5）可得1/a=（x₁/〔x₁²+y₁²〕,y₁/〔x₁²+y₁²〕),1/b=（x₂/〔x₂²+y₂²〕,y₂/〔x₂²+y₂²〕)。
则（1/a）+(1/b)=(x₁/〔x₁²+y₁²〕+x₂/〔x₂²+y₂²〕,y₁/〔x₁²+y₁²〕+ y₂/〔x₂²+y₂²〕)。由于形式复杂不便记忆，我们可以用另一个方法：（1/a）+(1/b)=
（a+b）/（a∙b）=（〔x₁+x₂〕/〔x₁x₂+y₁y₂〕，〔y₁+y₂〕/〔x₁x₂+y₁y₂〕）。
这也就是说：两个倒数向量的和的坐标等于原向量对应坐标之和除以对应坐标乘积的和的商。
用向量表达：两个倒数向量之和等于原向量的和除以原向量数量积的商。
同理，也可推得（1/a）-(1/b)=（〔x₁-x₂〕/〔x₁x₂+y₁y₂〕，〔y₁-y₂〕/〔x₁x₂+y₁y₂〕）。
所以我们可以推断：倒数向量的运算性质与代数的运算性质雷同，我们可以用代数的运算性质去推断倒数向量的运算性质。
（7）向量的三角表达式
我们知道一个向量是可以“摆在”数轴上，我们可以利用这个定义写出“坐标”（必修二课本），那么我们可以用这个定义来写出向量的三角表达式：
令：a=(x₁，y₁)，那么：a=(cosα|a|，sinα|a|)，α=<a，i>(i为x轴上的单位向量）。这样的表达形式有利于我们便捷的研究三角函数的一些简单推理。
（8）倒数向量的三角表达式
由（7）可知：令：a=(x₁，y₁)，那么：a=(cosα|a|，sinα|a|)，α=<a，i>(i为x轴上的单位向量），所以我们同样可以推断计算倒数向量的三角表达式，并探究它的性质：
可以推断：x₁/√〔x₁²+y₁²〕=cosα
那么 1/a=(cosα/|a|，sinα/|a|)
这也就是说：倒数向量可以由三角形式表示为：倒数向量的坐标等于原向量的余弦与正弦值除以其模的商。
（9）倒数向量的运算三角表达式 由（8）可知令：a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)，那么 1/a=(cosα/|a|，sinα/|a|)，1/b=(cosθ/|b|，sinθ/|b|),α=<a，j>,θ=<b，i>(i为x轴上的单位向量)。
那么有下面运算：
（1/a）±（1/b）=（〔cosα/|b|±cosθ/|a|〕/〔sinαcosα+sinθcosθ〕，〔sinα/|b|±sinθ/|a|〕/〔sinαcosα+sinθcosθ〕)
其他倒数向量计算也可以通过这样的方法计算，有人会问了，这有什么用？来吧咱们探究一下有什么用吧！
（10）倒数向量的运算三角表达式的运用
令：a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)，那么 1/a=(cosα/|a|，sinα/|a|)，1/b=(cosθ/|b|，sinθ/|b|),α=<a，i>,θ=<b，i>(i为x轴上的单位向量)。
那么a/b=〔|a||b|（sinαsinθ+cosαcosθ）〕/|b|²=〔|a|（sinαsinθ+cosαcosθ）〕/|b|，α=<a，j>,θ=<b，j>(j为y轴上的单位向量)
由（2）得，设有a/b=(|a|cosℷ)/(|b|)，ℷ=<a，b>.
如图所示：
即α-θ=ℷ,则有cos(α-θ)=cosℷ,所以sinαsinθ+cosαcosθ=cosℷ
所以，我们可以较简便地去推断三角函数的一些计算，就像上面一样，其实a=(x₁，y₁)=(cosα|a|，sinα|a|)，只是一种表达形式，用于简单的计算，是一个基础变换工具，可以用于分析多种三角函数公式，用于简单的推理。
（11）运算总结：（坐标型）〔向量不为零向量〕
令：a=(x₁，y₁),b=(x₂，y₂)，则有
①a/b=（x₁x₂+y₁y₂）/（x₂²+y₂²）
②1/a=（x₁/〔x₁²+y₁²〕,y₁/〔x₁²+y₁²〕)
③ （1/a）±(1/b)=（〔x₁±x₂〕/〔x₁x₂+y₁y₂〕，〔y₁±y₂〕/〔x₁x₂+y₁y₂〕）。
（12）运算总结：（公式型）〔向量不为零向量〕
①a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，θ=<a，b>
②1/a=a/|a|²
③（1/a）±(1/b)=（a±b）/（a∙b）
④1/a=(cosα/|a|，sinα/|a|)α=<a，j>(j为y轴上的单位向量）
（13）运算总结：（文字型）〔向量不为零向量〕
①两个向量的数量商等于分子向量的模在分母向量的投影与分母向量模的平方。（公式型）
②两个向量的数量商的对应坐标它们对应坐标的数量积除以分母向量模的平方。（坐标型）
③一个向量的倒数向量等于其原向量除以向量模的平方。（公式型）
④一个向量的倒数向量等于其原坐标除以向量模的平方。（坐标型）
⑤两个倒数向量的和差等于原向量之和差除以两个向量数量积的商。（公式型）
⑥两个倒数向量的和差等于原向量坐标之和差除以对应坐标乘积之和的商。（坐标型）
⑦向量可以由三角形式表示：Ⅰ、向量的坐标三角表达为：余弦值与模的积和正弦与模的积。Ⅱ、倒数向量的坐标等于原向量的余弦和正弦值除以模的商。
（14）性质总结
①a⟂b⟺ a/b=0
②当a与b同向：a/b=|a|/|b|,当a与b反向：a/b=-|a|/|b|。
③此外：|cosθ|≤1，则|a/b|≤|a|/|b|
④a/b=1/（b/a）
⑤a/ℷb=（1/ℷ）∙（a/b）
⑥(a+b)/c=(a/c)+(b/c)
⑦|1/a|=1/|a|
⑧a/|a|=|a|/a
后记：
前面所有推论均为个人理解，如有错误或者改进敬请读者批评，个人接受所有批评改正，谢谢。（下一篇文章会阐述关于向量的除法存在的一些见解，时间大概也在五一期间）
2023/4/29
附：本文的一些结论推理
一：向量的等式性质【（1）中用了】
有非零向量a,b。常数x,y。则有以下性质:
x/y=xa/ya
=x|a|/y|a|
=x|a|²/y|a|²
=x(a+b)/y(a+b)
=x(a+b)²/y(a+b)²
注：错误使用:
a∙b=a∙c，所以c=b(错误的），证明如下图
(下一篇文章也会再次证明）
二：数量商的数量积推理【附加】
有a∙b=|a||b|cosθ，同除以|b|²（是个数）
有特殊：|b|²=b²=b∙b,可化简为a∙b/|b|²=a∙b/b∙b，可化简为:a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，θ=<a，b>。
三： 性质错误的解释【原（3）中的①】
有a∙b=|a||b|cosθ，设a=（1，0），|a||b|cosθ=1，可以得到b有多解，b₁=（1，√3/3），b₂=(1,√3),原因如图
由倒数向量可知b₁=（√3/2，1/2），b₂=(1/2,√3/2)，明显的a=（1，0），但|a|cosθ e=
|a|cosθ b/|b|=(3/4,√3/4),则a≠|a|cosθ e。（此方法在下一篇文章还会用到）
四：部分性质的解释【③中】
Ⅰ、a⟂b⟺ a/b=0
证明:
a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，因为θ=90°，则cosθ=0，则a/b=0，所以a⟂b⟺ a/b=0
Ⅱ、②当a与b同向：a/b=|a|/|b|,当a与b反向：a/b=-|a|/|b|。
证明：因为a与b同向，则cosθ=1，所以a/b=|a|/|b|。因为a与b反向：则cosθ=-1，所以a/b=-|a|/|b|。
Ⅲ、③此外：|cosθ|≤1，则|a/b|≤|a|/|b|
证明：因为a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，|cosθ|≤1，则(|a|cosθ)/(|b|)≤|a|/|b|，即|a/b|≤|a|/|b|。
注：未经允许，任何人不可以以任何方式大量复制本文，本篇文章为原创文章，作者拥有最高解释权。
再后记：后面的解释也是个人理解，有不对的地方请各位读者批评指正，谢谢。
2023/4/29
